[線代] 低解析度矩陣的特徵值放大情形

[TeTe (T_T)]

如題，因為原始矩陣過於龐大無法計算，因此需要將矩陣用維持通量的方式縮小大小，
我覺得想法有點像將高解析度的圖片降階。
但是取 eigenvalue的時候會發現最大的前幾項實部跟虛部都會有放大的現象
想請問版上大大有什麼理論會解釋這個嗎？
另外就是矩陣這種降階方法也會跟做頻域分析取樣太粗而造成 aliasing有一樣的狀況嗎
？需要研究什麼理論才能了解這塊？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.60.154 (臺灣)
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推 hwanger     : "用維持通量的方式縮小大小">>>這應該是什麼標準用
→ hwanger     : 語嗎 不是很懂
→ hwanger     : "高解析度的圖片降階">>>壓縮圖片其實還蠻多種演算
→ hwanger     : 法的 而且基本上都是破壞性壓縮
不好意思，小弟算是工程科系，這方面的用詞不大清楚，如有用錯煩請指教
我指的通量是指在這個 2D domain的物理量在降階過程中需要維持守恆，方法是下面的圖片https://i.imgur.com/BBSPGgq.jpg
→ hwanger     : 探討eigenvalue的變化 主要還是看具體如何縮小矩陣
→ hwanger     : 並且關於eigenvalue的不等式 大部份都是在講
→ hwanger     : Hermitian matrix 對於一般case 則是看singular
→ hwanger     : value
推 hwanger     : "矩陣這種降階方法" >>>一樣 猜不透你如何降階 但破
→ hwanger     : 壞性壓縮都會有失真的問題
※ 編輯: TeTe (118.167.125.184 臺灣), 08/11/2020 14:12:42
推 hwanger     : 如你所述 aliasing是因為在連續訊號和有限離散訊號
→ hwanger     : 之間做轉換所造成的失真 不太確定是否和你的問題相
→ hwanger     : 關
→ TeTe        : 這也是我在想的問題，但頻域的 aliasing可以用 co
→ TeTe        : nvolution去解釋，但對矩陣"取樣"的理論 請問要參
→ TeTe        : 考哪一個理論？
推 hwanger     : "這方面的用詞不大清楚">>>有看過類似處理手法 不過
→ hwanger     : 我也不知道正確用語是啥
→ hwanger     : 看過這種方法用在螢幕顯示上 沒看過用在算eigenvalu
→ TeTe        : 老師是都稱做 coarsify，但查網路上沒什麼研究，可
→ TeTe        : 能算自己發明的字
→ hwanger     : 沒看過有專書討論 不過我會建議這種"粗化方式" 你應
→ hwanger     : 該關注在singular value的變化 而不是eigenvalue
推 hwanger     : 以下純粹個人感覺 你粗化後的矩陣 singular value可
→ hwanger     : 能和原矩陣有關 但eigenvalue看不出來為何要有關聯
→ hwanger     : 而且用這種方式簡化矩陣 通常和"人的感覺"有關 沒聽
→ hwanger     : 過用來做進一步運算的
推 hwanger     : "但對矩陣"取樣"的理論">>>摸不太清楚你的目的是啥
→ TeTe        : 應該說這個矩陣 eigenvalue代表一個動態系統的頻率
→ TeTe        : 響應，所以我才會認為如果我的"粗化方法"夠好，那
→ TeTe        : 應該要得到相同的頻率響應，又或是如果有影響，應
→ TeTe        : 該要用什麼理論去解釋這樣的影響
→ hwanger     : 但直覺會是影像處理相關或資料壓縮相關
→ TeTe        : 目的在這裡講出來可能有點難解釋完全，所以才想說
→ TeTe        : 看能不能問到關鍵字，自己找論文讀
推 hwanger     : "如果"粗化方法"夠好">>>不太確定是不是存在這樣一
→ hwanger     : 個夠好的粗化方法 但這個問題其實大約等價於 我有一
→ hwanger     : 個高次方的多項式 我用加減乘在其係數上 造出一個低
→ hwanger     : 階的多項式 其根和原式相近
推 hwanger     : 可能有類似的研究 不過應該都會限制原矩陣是某種類
→ hwanger     : 型
推 hwanger     : 在不限制矩陣類型的情況下 就我目前的感覺 得出實
→ hwanger     : 部和虛部會放大的結論只是巧合 可以試想一下有多少
→ hwanger     : 極端情況 可以在相同算法得到相同的簡化矩陣
→ TeTe        : 好的，感謝h大
推 wohtp       : 這不就renormalization group…
→ wohtp       : 「粗化」以後一般來說特徵值應該會被rescale才對。
→ wohtp       : 不過RG處理的對象通常很接近block matrices。可以拿
→ wohtp       : 來當例子，但相關技巧大概很難用在一般矩陣上。
→ TeTe        : w大那rescale的值有什麼理論依據嗎？還是只要把他
→ TeTe        : 除回去就好？？
→ wohtp       : 簡單的例子：考慮一維的forward difference matrix
→ wohtp       : ，整個band diagonal，代表discretized的微分算符。
→ wohtp       : 粗化等於你的lattice spacing變大，然後你所有的長
→ wohtp       : 度都是以lattice spacing為單位。所以「實際上有相
→ wohtp       : 同頻率響應」代表「頻率特徵值變大了」。
→ wohtp       : 但是我不知道你的矩陣是什麼，能不能適用這個圖像。
→ wohtp       : 我只能跟你說，至少有這個特徵值被縮放的例子，所以
→ wohtp       : 你不該期待特徵值不變。