推 hwanger : 本來想用Lagrange multiplier或Linear Programming 08/11 22:22
→ hwanger : 雖然可行 但打起來有點麻煩 冏 08/11 22:23
→ hwanger : 所以用點高等線性代數的東西 令Q是正定矩陣滿足Q平 08/11 22:25
→ hwanger : 方為P(這一定做得到因為P是正定矩陣) 08/11 22:26
→ hwanger : 則由cauchy schwarz inequality 我們有 08/11 22:27
→ hwanger : |u^tx| = |u^tQ Q^{-1}x| <= |Qu| |Q^{-1}x| = 08/11 22:29
→ hwanger : |u^tPu| 08/11 22:30
→ hwanger : 最大值可以用 x=Pu 得到 08/11 22:31
→ hwanger : cauchy schwarz inequality右邊少了平方 很抱歉 08/11 22:33
推 hwanger : 這裡要注意的是 |u^tPu|=u^tPu 因為P是正定的 08/11 22:39
推 hwanger : 修但幾類 cauchy schwarz inequality右邊本來就不用 08/11 22:58
→ hwanger : 平方 所以原式前半沒有問題 而 |Qu| = 08/11 23:00
→ hwanger : (u^t Q^tQu)^{1/2} = (u^tPu)^{1/2} 08/11 23:01
推 hwanger : 不過最大值應該是用 x=(u^tPu)^{-1/2}Pu 來達到才對 08/11 23:13
推 hwanger : 符號有點混亂 不好意思 08/11 23:17
推 hwanger : 仔細一想 Lagrange multiplier好像也沒那麼難打 08/12 12:42
→ hwanger : 我們要求f(x)=u^tx在 g(x)<= 1上的極值 其中 08/12 12:44
→ hwanger : g(x)=x^tP^{-1}x 這裡因為domain是compact的 所以極 08/12 12:45
→ hwanger : 值存在 因為f是線性的 極值會發生在邊界 考慮 08/12 12:46
→ hwanger : grad. f = s grad. g 則有 x= s^{-1}Pu 代回 g=1 08/12 12:48
→ hwanger : 得到 s = 正負的 (u^tPu)^{-1/2} 所以在 08/12 12:49
→ hwanger : x=(u^tPu)^{-1/2}Pu f會有極大值u^tPu 08/12 12:50
→ hwanger : 線性規劃也是差不多的計算 08/12 12:51