[中學] 複數平面兩點距離

[TOMOHISA (YAMASHITA)]

請問這題競賽題要怎麼做呢？

已知0<x,y<=π/2。
設z=(cosx/siny)+(cosy/sinx)i，滿足|z|=2；
及w=(√x)+(√y)i。
求|z-w|的最大最小值。


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感謝板上大神的討論，整理如下：
原題目確認後是長度2求最大值，
但經板友分析原題可能很難計算，
若改問長度√2求最小值較好處理（？）
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.138.106.16 (臺灣)
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※ 編輯: TOMOHISA (220.138.106.16 臺灣), 08/16/2020 14:26:51
推 hwanger     : 沒有任何中學技巧的想法 XDD 不過如果z的長度是根號
→ hwanger     : 2的話 就會異常好解
推 Vulpix      : 如果 |z|=√2，雖說好解，但還是有些技巧。從這個
→ Vulpix      : 角度來看，應該是√2沒錯了。
→ Vulpix      : 因為2真的很難算。
推 opeminbod001: 該點在半徑2 圓心原點的圓上 且
推 opeminbod001: 該點與原點連線斜率sin2y/sin2x 且
→ opeminbod001: w點和原點距離平方為x+y 是個圓不等式的範圍 半徑
→ opeminbod001: sqrt pi以內不含原點
→ opeminbod001: 用以上的z圖形 w圖形解最大最小值
推 opeminbod001: 忘了說 z點的距離平方值也要納入
推 hwanger     : 如果令 t*sin^2(x)=sin^2(y) t介於0到無窮大之間
→ hwanger     : 代入|z|=2 則得到 sin(x)=√((1+t)/(1+4t+t^2))
→ hwanger     : sin(y)=√((t+t^2)/(1+4t+t^2)) 所以x,y會是t的函數
→ hwanger     : 進一步推得 w的可能值在複數平面上形成一條曲線 因
→ hwanger     : 為w可以表示成t的連續函數
→ hwanger     : 且不難看出 給定一個w 他所對應的z是唯一的
→ hwanger     : 用 |z-w|^2 對t作圖 可以看出應該有三個局部極值
→ hwanger     : 理論上 我們只要求 |z-w|^2對t的全域極值就行了
→ hwanger     : 但光是化簡其導數到可以算出根就是一件極為冗長的事
推 hwanger     : 我自己目前是解不出來 XDD 但如果|z|=√2 則t=0
推 hwanger     : 錯了 不是得到t=0 是得到 x+y=pi/2 所以才異常好解
推 hwanger     : |z=w|^2對t有三個局部極值似乎也合情合理 一個是1
→ hwanger     : 一個令為a 則1/a也是局部極值的發生點
推 hwanger     : 而且仔細分析 因為x,y不為0 |z-w|沒有最大值(?)
推 njru81l     : 如果✓2的情況，結論同樓上：一個是定點整z=1+i，另
→ njru81l     : 一個點在絕對值w=π/2的第一象限四分之一圓弧上，不
→ njru81l     : 含端點。只最小值，無最大值
→ njru81l     : 絕對值w漏掉根號
推 Vulpix      : 樓上半徑還要開根號。
推 hwanger     : XD 我的分析是針對|z|=2 畢竟|z|=√2就只是四分之一
→ hwanger     : 圓弧對單點的問題
推 hwanger     : 在|z|=2的情況下 我將|z-w|^2表成t的函數(t>0) 然
→ hwanger     : 後觀察到這個函數會有三個局部極值發生在t=a,1,a^(-
→ hwanger     : 1)
→ hwanger     : 其中t=1是局部極大值而不是全域極大值 而a介於15和1
→ hwanger     : 6之間 且t=a和a^(-1)會發生全域極小值
→ hwanger     : 至於全域極大值發生在0和無窮遠點
推 Vulpix      : 我是做了變數代換，u=cos(2x),v=cos(2y)，結果(u,v)
→ Vulpix      : 還是得在一小條雙曲線上。就懶得算了。
推 hwanger     : 目前是想證明 「|z-w|^2代 t=a^(-1) (a^(-1)即|z-w|
→ hwanger     : ^2的導函數在(0,1)區間的根)是無法用 "基本函數代
→ hwanger     : 有理數或特殊值" 來表達的」
→ hwanger     : 這樣一來就說明|zl=2的情形不是中學生能解的
→ newversion  : 中學生時期的高斯、歐拉 會解
推 hwanger     : "如果"不能用elementary function 最好的情況是要
→ hwanger     : 借助special function 最差的情況就是只能通過中間
→ hwanger     : 值定理確定有解
推 TimcApple   : 這題我記得 答案是無解
→ TimcApple   : 設 z_1 = 2 cos(t) + i 2 sin(t)
→ TimcApple   : 則 (x, y) 可以用 t 表示成曲線, t in [pi/6,pi/3]
→ TimcApple   : 設 D = |z1-z2|^2, 作 D-t 圖可看出
→ TimcApple   : 最大值發生在 t = pi/6,pi/3 但這兩點的 x, y
→ TimcApple   : 不合條件（白圈） 因此 D 無最大值 本題無解
→ TimcApple   : * t in (pi/6, pi/3)
※ 編輯: TOMOHISA (220.138.106.68 臺灣), 08/19/2020 09:48:22
推 hwanger     : 用 |z|^2 = 2 把所有的cos換成sin 就會得到
→ hwanger     : sin^2(x)+sin^2(y)=1 進一步推得 x+y=pi/2
→ hwanger     : 代回z 就得到不管x,y是啥 z=1+1i
→ hwanger     : 代到w 就會發現w的軌跡是半徑為pi/2 圓心為0的四分
→ hwanger     : 之一圓弧(全在第一象限內 不含端點)
→ hwanger     : 寫錯了 半徑是√(pi/2)
→ hwanger     : 所以最小值是2-√(pi/2)
推 hwanger     : 又寫錯了 是√2-√(pi/2)
推 LPH66       : 為什麼只會得到 sin^2(x)+sin^2(y)=1 ?
→ LPH66       : 我記得還有一個因數...我找找我的筆記紙
推 LPH66       : 嗯, u^2-u^4+v^2-v^4=2u^2v^2 分解成
→ LPH66       : (u^2+v^2)(u^2+v^2-1)=0
→ LPH66       : 噢, 因為 x y 不會是零所以第一因數恆正...
推 hwanger     : 仔細看 才發現n大早就回答過了 囧