[微積] 開區間收斂問題

[meichiang (美江)]

想請問一下 if Y is open subset of B

and a function  f: A->B is continuous

Does a sequence （a_n ）in f^(-1)(B)

Always converge to limit outside f^(-1)(B)

Always converge to limit in f^(-1)(B)

Always converge either limit outside f^(-1)(B) or not converge

Always converge either limit in f^(-1)(B) or not converge

Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B) or not converge

Not converge

以上就原題 我之後會在問一下教授 但他的確定義不明 所以都有可能

開區間我是覺得 一個答案是不會收斂 另一個答案

是 收斂在區間外 因為 開區間的話 f^(-1)(B) 這點沒

定義 所以如果收斂在開區間外

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.11.131.30 (臺灣)
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推 hwanger     : B是集合?An是什麼?和Y有啥關係?完全看不懂你想表達
→ hwanger     : 什麼 囧
我把題目重打了一下
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 16:16:10
推 hwanger     : 囧 你只是中文翻成英文呀
定義一個開區間B

我覺得題目是在問 A映射到B 是連續的函數 裡面 一個序列  B的inverse 函數 會不會收
斂到一個值 或是他收斂的範圍在哪
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 16:31:32
推 hwanger     : Ok B和an看起來至少合理多 先不管Y是要幹嘛的 你ab
→ hwanger     : 選項是什麼意思?? 冏
→ hwanger     : 如果有原題目 要不要把原題目打上來
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 16:48:58
抱歉 這題目感覺有點不清楚 我自己都看不懂...
朋友是說是高微的東西
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 16:53:03
→ hwanger     : 沒關係 就算是實變的東西你也還是可以把題目打上來
推 hwanger     : 發現你有修改ab選項 只是還是看不懂 冏
→ meichiang   : 這原題了.... 我也看不懂 感覺有漏寫條件
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 16:59:45
推 hwanger     : 原題是中文??
原題英文 但我選項 中的 always converge to 改成永遠收斂 至於題目部分就是上述那
些
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 17:04:30
推 cuylerLin   : 感覺那個數列應該要是在Y裡面才對
→ cuylerLin   : 然後問把它拉回來的收斂會在哪裡
→ cuylerLin   : 所以 the preimage (one subset of the codomain th
→ cuylerLin   : at is open) of a continuous function is still op
→ cuylerLin   : en，而你拉回來的極限有可能在邊界上，所以就不在 p
→ cuylerLin   : reimage 裡面（在 ∂f^{-1} (Y)），但也有可能在 pr
→ cuylerLin   : eimage 裡面
→ cuylerLin   : 應該也是可以造出一些例子讓它不收斂；所以這樣來看
→ cuylerLin   : 的話有 always
→ cuylerLin   :  的都不能選才對
推 hwanger     : 同c大看法 我個人還是希望能把原題完整po出來 才能
→ hwanger     : 更明確指出原題疏漏在哪
這幾個選項
Always converge to limit outside f^(-1)(B)

Always converge to limit in f^(-1)(B)

Always converge either limit outside f^(-1)(B) or not converge

Always converge either limit in f^(-1)(B) or not converge

Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B) or not converge

Not converge
※ 編輯: meichiang (39.11.131.30 臺灣), 08/20/2020 17:31:21
推 cuylerLin   : 答案應該是第五個選項吧，所以從頭到尾都沒用到Y（
→ cuylerLin   : ？
推 hwanger     : "Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B)
→ meichiang   : 但為何會收斂到limit in f^(-1)(B) 這裡啊 我覺得是
→ meichiang   :  outside 跟 not converge
→ hwanger     : or not converge" 這個 就這樣 BTW open subset不是
→ hwanger     : 開區間的意思 就算你AB都是實數線 也不是開區間
→ meichiang   : 但為何是會在 limit in f^(-1)(B)
→ cuylerLin   : 如果 f^{-1}(B)（或者我覺得應該是f^{-1}(Y)）是 co
→ cuylerLin   : mpact 且 f^{-1} 也是連續的話就會在裡面
→ cuylerLin   : 真是奇怪的題目（
→ cuylerLin   : 換句話說，題目條件很鬆散的情況下，就什麼可能都會
→ cuylerLin   : 發生，在裡面、不在裡面、不收斂
→ meichiang   : 但他沒寫compact 一樣會在裡面嗎？
→ meichiang   : 感謝各位大大
→ hwanger     : 最後再回一下 你的問題已經跟f沒關係了 假設你一個
→ hwanger     : 在(-5,5)之間的數列 你覺得這個數列有沒有可能收斂
→ hwanger     : 到(-5,5)之間 比如說{1/n}?
→ hwanger     : 以下的建議純粹是我的雜念 可以不用管我
→ hwanger     : 我現在才發現你和上一篇是同一作者 如果你遇到你無
→ hwanger     : 法理解的題目 最好是直接將原題目po出來(哪怕是英文
→ hwanger     : ) 接著再講述你的想法 你無法理解題目的哪裡 以及你
→ hwanger     : 真正的問題點 必要時可以再補充自己的程度到哪
→ hwanger     : 老實說 你已經無法理解題目了 你卻要我們去理解你無
→ hwanger     : 法理解後的產物 這只會造成我們講我們的 你還是聽不
→ hwanger     : 懂 甚至有可能大家都看不懂 所以就懶得回你了
推 hwanger     : 譬如說你這篇 你的選項的中文翻譯已經和原本的題意
→ hwanger     : 完全不一樣了 你只是想單純讓大家贊同你的看法 可是
→ hwanger     : 沒想到我還是看不懂你的看法(因為我連題目也看不懂)
推 hwanger     : 你都願意修改這麼多次了 一開始就把題目po出來不好
→ hwanger     : 嗎? 而且版上能人都是能直接看英文的 我找不到理由
→ hwanger     : 你非得用你的見解翻成中文才行
→ hwanger     : 以上只是我淺薄的看法 如果冒犯到你 很抱歉
→ meichiang   : 了解了 不好意思麻煩了 下次會改進的 感謝你h大
推 hwanger     : 最後再修正一下c大的講法 不用compact 只要closed就
→ hwanger     : 好了 更準確的說 If A,B are metric spaces, and Y
→ hwanger     : is a closed subset of B, then for every sequence
→ hwanger     : in f^(-1)(Y), it either converges in f^(-1)(Y)
→ hwanger     : or diverges.
推 hwanger     : Here f:A→B is a continuous function, and "a
→ hwanger     : sequence converges in f^(-1)(Y)" means that it
→ hwanger     : converges in A and its limit is in f^(-1)(Y).
→ meichiang   : c這段我了解 但在 open subset 這個定義下 我以為是
→ meichiang   :  開集的意思 所以即使由極限收斂 回一個反函數 我以
→ meichiang   : 為那個數應該落在端點 但端點不是在 開集裡 所以我
→ meichiang   : 一開始認為是 converge outside 跟 not converge
推 hwanger     : 考慮identity map I:(-5,5)→(-5,5) 並考慮{1/n}在
→ hwanger     : I^{-1}(-3,3)之間 為什麼收斂的數列只能收斂到端點?
→ meichiang   : 了解了 感謝大大
推 hwanger     : 一樣是murmur 如果你一開始就po出原題 那你原本最重
→ hwanger     : 要的問題(我認為你想知道why it converges inside)
→ hwanger     : 在一個小時內就會得到版上能人的解答 我不懂為何你
→ hwanger     : 要擠牙膏式的釋出訊息 只能怪我一時手賤回了你 冏
→ njru81l     : 建議原po拍個照，那個Y到目前為止都沒整用途，理解
→ njru81l     : 轉述的過程，可能還有漏掉其它訊息
推 LPH66       : 這狀況其實已經有點接近 XY problem 了
→ LPH66       : 只是這比 XY problem 還令人抓狂(?)的點在於
→ LPH66       : XY problem 還只是發問者問了大問題的細節而已
→ LPH66       : 這狀況原 PO 所理解的細節又支離破碎
→ LPH66       : 所以我們這些外人就連大問題可能在問什麼都要拼湊
推 hwanger     : 冏 建議原po去查L大所說的XY problem L大說得沒錯
推 hwanger     : 冏 我發現了我自己的一個盲點了 因為B自己永遠是閉
→ hwanger     : 集 所以在不知道Y是幹嘛的情況下 答案應該是 "Alway
→ hwanger     : s converge either limit in f^(-1)(B) or not conv
→ hwanger     : erge" 你不可能找到一個convergent sequence 其極
→ hwanger     : 限值落在f^(-1)(B)外面
→ hwanger     : 前面我提供了錯誤的答案 很抱歉
推 hwanger     : 所以原題目只是要考f^(-1)(B)是閉集 以及閉集中數列
→ hwanger     : 的性質 然後Y只是誘餌???
→ meichiang   : 如果是閉集 我了解 他會收斂到裡面 或不收斂 但這題
→ meichiang   : 不是說是開集嗎
→ meichiang   : 我原題已經都打上去了... 我其他朋友看了也說看不
→ meichiang   : 太懂再問什麼 感覺是題目漏給資訊
教授給的答案是 f^(-1)(B)=A which may or may not be open because Bray or may no
t be open A sequence 並不一定要收斂 或會收斂在裡面 或外面
※ 編輯: meichiang (27.247.226.199 臺灣), 08/21/2020 06:21:19
→ cuylerLin   : 教授說 f^(-1)(B)"=" A？！！？
推 TimcApple   : 題意不清 就算一整串討論下來也沒有改善
推 hwanger     : 首先f:A→B 所以f^{-1}(B)自然就是A 接著假設原po已
→ hwanger     : 經把原題打上來了  可是你只說Y是B的open subset
→ hwanger     :    B對自己還是closed set呀
→ hwanger     : 然後因為"原po已經把題目完整po上來了" 所以f的doma
→ hwanger     : in A已經是全空間了 跟本沒有所謂的外面了 你要怎
→ hwanger     : 麼收斂到外面? 最詭異的是為什麼你的教授看得到外
→ hwanger     : 面
推 hwanger     : 補充一點 B對自己既是open也是closed 無法理解你的
→ hwanger     : 教授在說什麼
→ hwanger     : 還是有什麼原因 必須假設AB各自在一個更大的空間?
推 hwanger     : 原po說已經把原題打上來 我還重看了一下 還是昨天
→ hwanger     : 的狀態呀 囧
→ meichiang   : 全文就是長那樣..... 所以我也搞不懂教授在問啥....
推 hwanger     : 那你方便去問你教授 從題目上來看 A已經是全空間了
→ hwanger     : 請問會怎樣收歛到外面 是不是有假設A在一個更大的空
→ hwanger     : 間中 為啥要這樣假設
→ njru81l     : 原po你的中英夾雜只有三個選項，後面全英文不只三個
→ njru81l     : 選項。顯然中英夾雜的不是題目全文。還是建議拍照傳
→ njru81l     : 圖
※ 編輯: meichiang (27.247.226.199 臺灣), 08/21/2020 13:48:14
推 hwanger     : 我一直不懂 為什麼原po一直把因為是開集合 所以
→ hwanger     : preimage是開區間這件事
→ hwanger     : 第一 題目本身從頭到尾就沒有把A當作實數或實數的子
→ hwanger     : 集合 就字面上的通常解釋 f是一個介於兩個拓撲空間
→ hwanger     : A,B的連續函數 因為又要討論sequences 就大學程度而
→ hwanger     : 言 就是直接假設A,B是metric spaces
→ hwanger     : 因為"open subset"這個terminology的出現 加上題目
→ hwanger     : 又沒特別標明 沒有理由要去限制A,B是 R^n的子空間
→ hwanger     : 第二 就假設我們非得把A放在實數中好了 實數中的
→ hwanger     : open subsets並不是只有開區間 實際上我們有如下的
→ hwanger     : 定理 任何一個實數中的open subsets都是可數多個互
→ hwanger     : 不相交的開區間的聯集 比如說(0,1)\{1/n: n in N}
→ hwanger     : 也是開集合
推 hwanger     : 第三 就單純f: A→B這個notation而言 基本上是沒有
→ hwanger     : 理由假設A是在更大的集合中 然後f只是partial
→ hwanger     : function 因為把A放進一個更大的空間這件事是無止盡
→ hwanger     : 的 那怕就是A就是實數線 我也可以把他放進同胚於單
→ hwanger     : 位圓的空間中 並且f仍然是連續的(只不過變成partial
→ hwanger     : function) 而且有些原本發散的數列開始可以收歛於實
→ hwanger     : 數線外
推 hwanger     : 如果f本來就是定義在更大的空間中 那我們約定成俗就
→ hwanger     : 是用 f|A 這種符號
→ hwanger     : 題外話 雖然有時候我們會任意擴大一個函數的
→ hwanger     : codomain而仍視作同一個函數 但如果你改了函數的
→ hwanger     : domain 基本上就不再是同一個函數了 原因很簡單 我
→ hwanger     : 們定義函數是用函數的graph去定義的 你改了domain
→ hwanger     : graph的集合就不一樣了
推 TimcApple   : A = R^2 那就沒有 outside 了啊ow o
推 hwanger     : XD 實際上 R^n我們都可以放進同胚於S^n的空間中 甚
→ hwanger     : 至在拓撲學裡有一個更一般的結果 不過偏離主題了
→ hwanger     : 只有compact set放進其他空間內沒辦法造成原本發散
→ hwanger     : 的數列突然收歛  XD
→ njru81l     : 如果這真的是原題全部了，那第三、四個選項的英文實
→ njru81l     : 在讓我覺得散讀：converge 後面的to消失了，either
→ njru81l     : ... or ...一個接名詞，一個接動詞。讓我看了？？？
→ njru81l     : 總不是我的英文太爛了吧？
→ njru81l     : 回到數學部分，條件如此鬆散的狀況，前面的討論其實
→ njru81l     : 應該整結果了，就是這數列愛怎樣就怎樣，可以不收斂
→ njru81l     : ，也可以收斂在A中，如果有A是在另一個metric space
→ njru81l     :  的子集的話，那也可後收斂在 A外面(拿掉此metric s
→ njru81l     : pace 時，把A視為整個空間，此情況屬於為發散)。
→ wohtp       : 欸，我們為什麼要討論 f, A, B 的性質？
→ wohtp       : 只要 f^-1(B) 有兩個點以上，我就可以任意造出收斂
→ wohtp       : 與不收斂的 a_n 啊
→ wohtp       : 不知道 a_n 是什麼要從哪裡討論起
推 hwanger     : 同意n大兩個觀點 第一是英文的部份感覺是來亂的 第
→ hwanger     : 二是數學部份的結論
→ hwanger     : 回w大 其實我們一直都知道 a_n可能收歛可能發散 後
→ hwanger     : 來我自己爭論的點是照題目來看 A是全空間 不可能收
→ hwanger     : 歛於外面 因為根本沒假設所謂的外面 XDDD