推 hwanger : 雖然是你的筆記 但我以下會重新解讀 08/24 00:40
推 hwanger : 第一行到第三行 "令"W為V中所有對應到eigenvalue la 08/24 00:47
→ hwanger : mbda的eigenvectors所形成的集合 08/24 00:47
→ hwanger : 則1. W是一個ㄒ的不變子空間 2.隨意找一組W的基底 08/24 00:47
→ hwanger : 則T在這組基底下的矩陣表示是 (lambda)I 其中I是 08/24 00:47
→ hwanger : 單位矩陣 08/24 00:47
推 hwanger : 第四行和W無關 純粹講一個結論 08/24 00:52
→ hwanger : 一般而言 就算我們的field是closed field 我們也無 08/24 00:52
→ hwanger : 法將V寫成eigenspaces的直積 有以下幾點觀念 08/24 00:52
推 hwanger : 1. 假設是closed field(一般初學就是指C) 我們總是 08/24 01:02
→ hwanger : 會有eigenspaces可直和成一個V的子空間 令為U 但U通 08/24 01:02
→ hwanger : 常不是V 而我們會開始考慮generalized eigenvectors 08/24 01:02
→ hwanger : 2. 續1 U=V的充要條件是 T的minimal polynomial無 08/24 01:02
→ hwanger : 重根 08/24 01:02
→ hwanger : 3. 若不是closed field 且T的特徵多項式無法分解成 08/24 01:02
→ hwanger : 一次式 則我們開始考慮rational form 08/24 01:02
推 hwanger : 第六 第七行 "令"W為小v所生成的cyclic space 並令b 08/24 01:13
→ hwanger : eta為相對應的cyclic basis 則1. W是T的一個不變子 08/24 01:13
→ hwanger : 空間 2. T相對於beta的矩陣表示是其對應的companion 08/24 01:13
→ hwanger : matrix 08/24 01:13
推 hwanger : 第8行和W無關 純粹講另一個結論 08/24 01:18
→ hwanger : 不論field是否closed 或T的特徵多項式是否splited 08/24 01:18
→ hwanger : 總是"存在"一組向量v1,v2,...,vr 使得V是其相對應 08/24 01:18
→ hwanger : 的cyclic spaces的直和 08/24 01:18
推 hwanger : 這裡有個觀念很重要 就是前述結論是說"存在一組" 08/24 01:24
→ hwanger : 而不是任意選一組 08/24 01:24
→ hwanger : 實際上當你隨便選兩個cyclic subspaces 他們有可能 08/24 01:24
→ hwanger : 互不包含且有非零的交空間 08/24 01:24
推 hwanger : "第一個沒辦法形成...">>>如前所述 可能是特徵多項 08/24 01:29
→ hwanger : 式沒辦法分解成一次式相乘 或者無法選出一組由eigen 08/24 01:29
→ hwanger : vectors構成的基底(此時要開始用generalized eigenv 08/24 01:29
→ hwanger : ector 並考慮Jordan form) 08/24 01:29
推 hwanger : 你可以思考這個例子 T(x,y) = (x+y,x) where x,y ar 08/24 01:36
→ hwanger : e real numbers 08/24 01:36
→ hwanger : "如果改成W=...">>>W是dummy notation 在前半段代 08/24 01:36
→ hwanger : 表一個eigenspace 在後半段代表一個cyclic subspace 08/24 01:36
→ hwanger : 所以我不懂你要問啥 08/24 01:36
推 hwanger : 上面的例子打錯 應該是T(x,y)=(x+y,y) 08/24 01:45
→ NTUmaki : 我其實只是想問說 原本我想說 可對角化等價於V=每個 08/24 01:46
→ NTUmaki : eigenspace的直和 但這邊竟然沒成立 所以我想問題是 08/24 01:46
→ NTUmaki : 不是出在那個W ? 08/24 01:46
→ NTUmaki : 抱歉==你講的很多名詞術語我都沒聽過..整篇下來看不 08/24 01:56
→ NTUmaki : 太懂，我學的很淺 問題就主要在我以為那個直和等式 08/24 01:56
→ NTUmaki : 跟可對角化是等價的 08/24 01:56
推 hwanger : ok 那我們就限定在前四行看就可以了 08/24 07:19
→ hwanger : 第一行到第三行是描述說 如果W是T的eigenspace 對 08/24 07:19
→ hwanger : 應到eigenvalue lambda的話 則T"限定"在W上的矩陣 08/24 07:19
→ hwanger : 表示永遠是單位矩陣的lambda倍 08/24 07:19
哦哦！原來是這個意思 我以為W那樣取就是所有的eigenspace，所以原來是指某個特徵值對應的..所以一定是單位矩陣倍數
推 hwanger : 這裡W就是其中一個eigenspace 所以「如果改成W=eige 08/24 07:23
→ hwanger : nspace的直和會對嗎」這句話怪怪的 08/24 07:23
推 hwanger : 然後你說的「可對角化等價於V=每個eigenspace的直和 08/24 07:32
→ hwanger : 」這句話是對的 但你前三句並沒有假設T在V上可對角 08/24 07:32
→ hwanger : 化 你前三句單純只是說 當你的T "限定" 在某個 "固 08/24 07:32
→ hwanger : 定" 的eigenspace時 則他是identity map的常數倍 08/24 07:32
推 hwanger : 第四句則是重新給你一個結論 "V未必是所有eigenspac 08/24 07:48
→ hwanger : es的直和" 也就是說T未必是可對角化的 08/24 07:48
→ hwanger : T限定在某一個子空間上可對角化 未必在全空間上可 08/24 07:48
→ hwanger : 對角化 08/24 07:48
→ hwanger : 可以考慮這個例子 T:R^4→R^4 定義為T(x,y,z,w)=(x, 08/24 07:48
→ hwanger : y+z,z,2w) 08/24 07:48
→ hwanger : 此時V是R^4 且T有兩個eigenvalue 1和2 08/24 07:48
推 hwanger : 令W為span{(1,0,0),(0,1,0)} 則W是對應到eigenvalue 08/24 07:52
→ hwanger : 1的eigenspace 且T限定在W上, T_W(T下標W)是W上 08/24 07:52
→ hwanger : 的identity map 所以這個restriction是可對角化的 08/24 07:52
推 hwanger : 但是T在V上不能被對角化 而且V也不是V(1)和V(2)的 08/24 07:55
→ hwanger : 直和(因為V(1)是2維的 V(2)是1維的 加起來不可能到4 08/24 07:55
→ hwanger : 維) 08/24 07:55
推 hwanger : 打錯 令W為span{(1,0,0,0),(0,1,0,0)} 08/24 07:58
※ 編輯: NTUmaki (39.12.43.66 臺灣), 08/24/2020 10:18:56
→ NTUmaki : 完全懂了..我應該是把eigenspace搞錯 我以為W那樣取 08/24 10:22
→ NTUmaki : 是指所有的eigenspace的和空間..所以我以為對角的la 08/24 10:22
→ NTUmaki : mbda都是相異的（所以beta 任意取 因為都在同一個特 08/24 10:22
→ NTUmaki : 徵值對應的eigenspace 因此出來對角都是同一個特徵 08/24 10:22
→ NTUmaki : 值） 08/24 10:22
→ NTUmaki : 非常感謝用心解說 還舉例>< 08/24 10:22
推 hwanger : 看起來你只是符號混淆了 在直和上並沒有類似於 08/24 11:30
→ hwanger : Einstein summation convention的概念 V(lambda)就 08/24 11:31
→ hwanger : 是對應到一固定lambda的eigenspace 和第四行的符號 08/24 11:32
→ hwanger : 是一致的 並沒有自動sum over all possible lambda 08/24 11:34
推 a84172543 : 我的直觀是...一個特徵值of V 08/25 01:34
→ a84172543 : 所產生的特徵向量 08/25 01:34
→ a84172543 : 要看有沒有滿足 08/25 01:34
→ a84172543 : 代數重數=幾何重數 08/25 01:34
→ a84172543 : a.m.(入)=g.m.(入) 08/25 01:34
→ a84172543 : 僅考慮eigenapace 08/25 01:34
→ a84172543 : 不考慮 generalized eigenspace 08/25 01:34
推 a84172543 : 然後我覺得先釐清 08/25 01:39
→ a84172543 : 特徵值所對應的特徵向量數量 08/25 01:39
→ a84172543 : （也得找到一下Jardon form) 08/25 01:39
→ a84172543 : 那麼掌握就可以 直觀 直和了 08/25 01:39
→ a84172543 : #找到->知道 08/25 01:40
推 ruj9vul3 : 看你的特徵向量個數有沒有足夠支撐你的特徵值的重 08/26 17:44
→ ruj9vul3 : 次 08/26 17:44