[中學] 同餘問題....

[harry921129 (哈利~~)]

        1. 2003=x^2 + y^2  沒有整數解
           看解答沒問題.....但是想知道對於同餘的題目
           要如何思考 或是根據甚麼脈絡可以來決定使用 模多少?
           例如說此題是使用 模4


        2. 1599=x1^4 + x2^4 + x3^4 +.....+x14^4 沒有整數解
           想了很久 想要用模16

           但是遇到困難

           1599同餘-1 或 15  (mod 16)

           xi同餘 0 +-1 +-2 +-3 +-4 +-5 +-6 +-7  8 (mod 16)

           xi^4同餘 0,1,4,9 (mod 16)

           接下來如何說明14個xi 相加不會等於15 對於模16 ?

        還是我取的模16不夠好  有更好的??

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→ Ricestone   : 有4跟9嗎？
→ harry921129 : 樓上一語驚醒夢中人,確實沒有4,9..那我沒問題了,謝
推 hwanger     : 關於第一點 你可能可以針對變數個數少及次數較低的
→ hwanger     : 情況做一些經驗的歸納
→ hwanger     : 也許是我見識淺薄 不過針對一般多元多次方程 目前應
→ hwanger     : 該是沒有"快速"的通用算法用來判定該用哪個數字來作
→ hwanger     : 模(Maybe you can find one or prove that there is
→ hwanger     : no such one)
→ hwanger     : 當然一些代數或代數數論的技巧在分析該用何數作模時
→ hwanger     : 是很有用的 例如在你的第二點的例子中 因為2^4=16
→ hwanger     : 並且Z/16Z的乘法群同構於(Z/2Z)x(Z/4Z) 所以當取模
→ hwanger     : 16時 所有偶數的四次方都同餘於0 所有奇數的四次方
→ hwanger     : 都同餘於1 (你第一點取模4也是類似的結論 實際上我
→ hwanger     : 們可以推廣到模2^n的情況)
推 hwanger     : 另外處理這類Diophantine equations 當其次方都是偶
→ hwanger     : 數時 有時用程式硬算驗證其實也是一種高效率的作法