[線代] Hermitian 等價定義

[NTUmaki (西木野真姬)]

對一些數學語言不太熟，想問一下對這個定理的理解有沒有錯誤

A屬於n*n複矩陣，
A*=A
iff
x*Ax屬於實數 for all x 屬於複數vector

我的理解：
1. 後面那個敘述要for all x 屬於複vector 所以實數下不成立（因為連複數的也必須對）

2. A只說屬於複矩陣，所以其實也可以取實矩陣 變成
A^T=A iff x*Ax屬於實數 for all x 屬於複數vector

3. 順便問一下，因為positive definite 一定滿足 x*Ax 屬於實數，所以一定是hermitian，因此我可以用這個當判斷，如果矩陣不是hermitian  他一定不會是positive definite

想問這樣對不對 ？
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※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 13:54:07
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 13:55:04
→ Ricestone   : 1.往左的箭頭不成立 2.對 3.對（除非是狹義的正定）
→ Ricestone   : 喔不，2你的左箭頭不對
意思是可能右邊會推出hermitian 但不symmetric 所以我不能取實矩陣 是嗎？
→ Ricestone   : 再修正，是我誤會了，你的2沒錯
哦哦哦哦好
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:09:19
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:09:39
→ Ricestone   : 實際上正定的一般定義裡面就包含A要是symmetric或
→ Ricestone   : Hermitian了，只是在複數情況下那個正定定義就能推
→ Ricestone   : 出必須Hermitian，但在實數下若只有xTAx這條件會推
→ Ricestone   : 不出必須要是symmetric
為何！！？
→ Ricestone   : 我這邊說的正定定義是指x*Ax>0
→ NTUmaki     : 那請問這兩句話對不對：A屬於複矩陣，則正定一定her
→ NTUmaki     : mitian ；A屬於實矩陣，則正定一定Symmetric
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:16:33
→ Ricestone   : 前一句一定對，但後一句要看定義
請問是哪一個的定義
推 Vulpix      : 例如A是旋轉九十度，x'Ax就一定是0。
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:19:49
→ Ricestone   : 看實數矩陣的正定的定義裡面有沒有對稱這個前提
喔！所以有一些實矩陣的正定會要求對稱，有些不用
→ Ricestone   : 舉例來說{{1,1},{-1,1}}這個矩陣也符合xTAx>0
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:21:27
→ Ricestone   : 不過我們當然會有補救的方法，也就是二次式的修正
就是正定一律把他取成對稱的嗎
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:22:43
→ Ricestone   : 我們可以把那個非對稱矩陣換成具有相同值的對稱矩陣
→ Ricestone   : 這樣我們對Hermitian矩陣的結論就都可套用了
→ Ricestone   : 具體來說，前面那個例子跟{{1,1/2},{1/2,1}}的二次
→ Ricestone   : 式是一樣的，所以我們只要對後者進行正定判定就知道
→ Ricestone   : 它是不是正定
→ Ricestone   : 你複習到二次式（就是xTAx）的時候應該會再看到
→ NTUmaki     : 好神奇@@
推 Vulpix      : 他的對稱部應該是I吧。
→ Ricestone   : 喔對，我沒仔細想清楚
→ NTUmaki     : 我知道不用對稱的例子存在了 但我邏輯上不太懂為什
→ NTUmaki     : 麼不用， A屬於複矩陣則A正定一定hermitian ；但是
→ NTUmaki     : 當A屬於實矩陣的時候 他一定也屬於複矩陣，這樣A正
→ NTUmaki     : 定一定hermitian ，此處hermitian 不就剛好是對稱嗎
→ NTUmaki     : ？還是說講實矩陣的時候 不能提到hermitian
→ Ricestone   : 主要原因是xTAx裡面的x是屬於實數，這導致可以不對
→ Ricestone   : 稱
→ Ricestone   : 而當然如果是寫x*Ax，並且x屬於複數的話，那就可以
→ Ricestone   : 直接套用Hernitian的結論了
→ NTUmaki     : 哦哦！所以一般會讓A跟x的定義域一致嗎
→ Ricestone   : 你可以想像就是後者要求比較多
→ Ricestone   : 出題的話通常會寫清楚，沒寫你也只能揣摩上意
→ NTUmaki     : 這邊一下定在複數 一下定在實數 好混亂==
→ NTUmaki     : 總之如果A屬於實矩陣，然後我的正定是定義for all x
→ NTUmaki     : 屬於‘複vector’那我就可以說 正定一定對稱？
→ Ricestone   : 可以
推 Vulpix      : 不會「突然」變混亂。因為係數的範圍可以有多大這事
→ Vulpix      : 是一開始就要講明白的。