[線代] 正交矩陣可不可以正交對角化

[NTUmaki (西木野真姬)]

我學到說

A屬於複矩陣，A : normal iff A is unitary diagonalizable

A屬於 實矩陣，A : symmetric iff A is orthogonal diagonalizable

想問一下 以下推論過程：

套第一條，正交矩陣的確屬於複矩陣，只是剛好元素都實數，他也是normal operator 所以可以 unitary對角化

這邊我卡住了，可以 unitary 對角化，是不是不代表可以正交對角化？

像正交矩陣，他的特徵值可能不是實數，所以造成他可以 unitary 對角化，但不能正交對角化對不對？ （如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱？）
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推 hwanger     : 你可以試著證證看 a unitary diagonalizable matrix
→ hwanger     : is orthogonal diagonalizable iff all its
→ hwanger     : eigenvalues are real
→ hwanger     : 少一個條件 a real unitary diagonalizable matrix
→ hwanger     : is orthogonal diagonalizable iff all its
→ hwanger     : eigenvalues are real
→ hwanger     : 加上你前一篇問的 a real matrix is symmetric iff
→ hwanger     : x*Ax is real for all complex vectors x
→ hwanger     : 你已經開始把知識零散化了 而沒有串起來 冏
→ hwanger     : "可以 unitary 對角化，是不是...">>>對 還要加上
→ hwanger     : eigenvalue必需全為實數
→ hwanger     : "像正交矩陣，他的特徵值可能不是...">>>對
→ hwanger     : "如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱">>>對
→ hwanger     : 簡單來說 所有正交矩陣的集合和所有對稱矩陣的集合
→ hwanger     : 是兩個交集非空但互不包含的集合
→ NTUmaki     : 好的...感謝 我一直被實數複數搞混 有時候條件寫屬
→ NTUmaki     : 於複數 我就開始想說 實數是不是也可套用...但有的
→ NTUmaki     : 條件實數複數分開寫 我就又開始想 如果是實數是不是
→ NTUmaki     : 要兩種都符合
推 hwanger     : 這邊的確很多結果基本上都是針對複數的(因為任何多
→ hwanger     : 項式在複數都有解) 所以基本上你只要把也針對實數的
→ hwanger     : 結果挑出來特別看看就可以
推 hwanger     : 另外 不論是unitary decomposition或orthogonal
→ hwanger     : decomposition 兩者都是eigen-decomposition的特例
→ hwanger     : 所以orthogonal decomposition存在的最基本條件就是
推 wohtp       : [(0 ，1)，(-1，0)]
恩！可以unitary對角化 但eigenvector不會orthogonal但是會unitary
→ wohtp       : 對角化試試看？
→ hwanger     : 所有的eigenvalue都是實數
→ hwanger     : 而正交矩陣基本上就是旋轉矩陣和鏡射矩陣的合成
→ hwanger     : 而任一個non-trivial旋轉矩陣基本上eigenvalue不可
→ hwanger     : 能全是實數 比如說再二維上 你旋轉後 就沒有任何一
→ hwanger     : 向量被保持在同一方向或反方向了
推 hwanger     : 而你一旦沒了實的eigenvector 就不會有實的eigenvle
推 hwanger     : 你或許可以試著開始畫一些有關normal, Hermitian,
→ hwanger     : anti-Hermitian, symmetric, skew-symmetric,
→ hwanger     : unitary, orthogonal的Venn diagram 應該可以幫助你
→ hwanger     : 理解一些事 這邊討論的主體基本上就這些矩陣
→ hwanger     : 而這邊基本上只關心unitary decomposition和
→ hwanger     : orthogonal decomposition而已
→ hwanger     : 所以性質真的不多
推 hwanger     : 如果可以 先不要和quadratic form或一些不等式作連
→ hwanger     : 結 先弄清這些矩陣之間的關係會比較好
※ 編輯: NTUmaki (39.8.161.10 臺灣), 08/28/2020 22:32:42
→ NTUmaki     : 好的 感謝！ 我再自己整理一下