想請問關於closed function 的問題

[jr80939393 (jr80939393)]

我在讀優化時遇到了以下的問題，

內文說粉色的螢光筆處可以由藍色的螢光筆推得，
但是根據Rmk3.23，我只能從藍色螢光筆推得function is closed，但這樣我能說epi(f)是closed set 嗎？

所以我的問題是function is closed與epi(f) is closed set兩個敘述是可以互推的嗎？或者說我哪裡理解錯誤，謝謝大家！
https://i.imgur.com/HTXO4hc.jpg

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推 hwanger     : 假設你closed function的定義是for all a {f<=a} is
→ hwanger     :  closed in R^n 那就與"epi f在R^{n+1}中是closed"
→ hwanger     : 是等價的唷
推 hwanger     : 只不過從你圖片最開頭的remark 他就是把"f is colse
→ hwanger     : d" 定義成  "epi f在R^{n+1}中是closed"
推 hwanger     : 所以從黃色和藍色可以推得epi f是closed(因為contin
→ hwanger     : uous→closed 並且closed:="epi f is closed)
→ hwanger     : 而"epi f 是凸"的要另外證
推 hwanger     : 應該不至於會搞混 不過拓撲裡的closed map和這裡的
→ hwanger     : closed function是不一樣的意思唷
→ jr80939393  : 謝謝h大，主要是我在網上看到這個定義(If A then B)
→ jr80939393  : ，我一直在想這樣B成立A不一定成立吧，不過後來看了
→ jr80939393  : 一些書寫的格式，我發現如果有defined或is said to
→ jr80939393  : be的，B成立的情況下都會蘊含Ａ的條件。一時間犯病
→ jr80939393  : 了，之前讀都沒這問題。感謝！https://i.imgur.com/
→ jr80939393  : p0s7I3L.jpg
→ jr80939393  : https://i.imgur.com/GatwNsw.jpg
推 hwanger     : wiki那種寫法反而讓人覺得怪怪的 XD 不過兩者等價並
→ hwanger     : 不難證 你可以證證看
→ hwanger     : 不是很重要 不過跟closed function差不多的拓撲概念
→ hwanger     : 其實是lower semi-continuous
→ jr80939393  : 好的，謝謝h大的建議跟指導。