推 hwanger : 這種東西其實最低限度應該用volume of jordan regio 09/03 19:59
→ hwanger : n想才對 囧 09/03 19:59
推 hwanger : 在volume of jordan region中 先定義sum of retangl 09/03 20:06
→ hwanger : e(此時retangle的長x寬並不是volume的定義) 然後你 09/03 20:06
→ hwanger : 再證明一個長方形 在任意一個網格越切越細的情況下 09/03 20:06
→ hwanger : sum of retangle會收斂到該長方形的長x寬 09/03 20:06
推 hwanger : 當然這個是沒辦法講給中學生聽的 冏 考慮一個 a by 09/03 20:25
→ hwanger : b的長方形 你應該能感覺出a乘1的長方形應該是1乘1的 09/03 20:27
→ hwanger : 長方形面積的a倍 而a乘b的長方形面積應該是a乘1的長 09/03 20:28
→ hwanger : 方形的b倍 這種相比的倍數應該相乘 所以a乘b的長方 09/03 20:30
→ hwanger : 形的面積應該是1乘1長方形的ab倍 09/03 20:30
→ hwanger : 比方說 對4/3乘7/4的長方形而言 4/3乘1的矩形面積應 09/03 20:32
推 hwanger : 該要是1乘1方形的4/3倍(把1x1的方形擺入4/3x1的矩 09/03 20:34
→ hwanger : 形內 對齊三邊) 同樣地4/3乘7/4的長方形面積應該是 09/03 20:35
→ hwanger : 4/3x1的7/4倍 而B:A=4/3 C:B=7/4 09/03 20:37
→ hwanger : 所以C:A=(4/3)(7/4) 其中A為1乘1的矩形面積 09/03 20:38
→ hwanger : B為4/3乘1的矩形面積 C為4/3乘7/4的矩形面積 09/03 20:39
推 hwanger : 而你又定義1乘1的方形面積是1 所以他的(4/3)(7/4)倍 09/03 20:42
→ hwanger : 就是(4/3)(7/4) 剛好就是長x寬 09/03 20:42
推 hwanger : 就你的例子而言 你應該先思考為何√3x1的長方形面積 09/03 20:50
→ hwanger : 為何是1x1方形面積的√3倍 再來思考為何√3x√3矩形 09/03 20:51
→ hwanger : 面積是√3x1面積的√3倍才對 09/03 20:51
推 Vulpix : 這個問題是好的問題。你的√3是一個「實數」（純代 09/04 00:03
→ Vulpix : 數的√3與-√3無法區分彼此，也無法直接與幾何連結 09/04 00:03
→ Vulpix : ），所以不論是哪一個定義，都要視為一堆有理數的 09/04 00:03
→ Vulpix : 極限或邊界。那計算那個乘法的方法就是拿有理數來 09/04 00:03
→ Vulpix : 算，再算極限，這是實數乘法的「定義」。你會覺得 09/04 00:03
→ Vulpix : 自己無法解釋，是因為你甚至沒有學過怎麼定義實數 09/04 00:03
→ Vulpix : 的乘法。畢竟想要自然地學會用數字，就不能走公理 09/04 00:03
→ Vulpix : 定義定理那套XD 09/04 00:03
→ Vulpix : 其實所有的回覆內容講的都是這件事。 09/04 00:04
推 hwanger : 大部份的實數(更準確的說大部份的無理數) 正如V大所 09/04 07:34
→ hwanger : 說 必須回歸到實數的定義上 才能精準的描述其行為 09/04 07:36
→ hwanger : 這裡比較冏的是√3是Constructible 所以可以和歐幾 09/04 07:38
→ hwanger : 里德幾何做連結 而不用考慮用有理數逼近這種想法 冏 09/04 07:40
推 hwanger : 更進一步 單就幾何上 我們是可以定義兩個線段加減 09/04 07:56
→ hwanger : 乘除的線段為何(換成代數語言 就是所有constructabl 09/04 07:56
→ hwanger : e numbers的集合形成一個field) 09/04 07:56
推 hwanger : 但比較不幸的是 長度ab的線段與長度1的"倍數關係" 09/04 08:10
→ hwanger : 和 axb矩形與1x1方形面積的"倍數關係"是沒有幾何 09/04 08:10
→ hwanger : 直觀 此時就必須全部回歸到實數的定義上 09/04 08:10
推 hwanger : 延伸一個有趣的問題 √3x√3和3x1的矩形都是可以尺 09/04 08:34
→ hwanger : 規作圖作出來的 那他們面積相同是可以用歐式幾何(譬 09/04 08:35
→ hwanger : 如說採用Hilbert公設集)證出來的嗎? 09/04 08:37
推 Vulpix : 如果是用可作數的概念，那就至少要接受相似形啊XD 09/04 13:51
→ Vulpix : 有相似形在，那√3*√3也不是什麼問題了。 09/04 13:52
推 hwanger : ???那問題就會回到為何圖形邊長放大a倍 面積會放大 09/04 14:10
→ hwanger : a^2倍的問題呀 冏 09/04 14:11