※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 我們定義 邊長為1單位的正方形面積=1
: 長方形的長=6 寬=3
: 我們可以把此長方形的長切6等份 寬切3等分
: 那麼就可以形成6x3個面積為1的正方形
: 所以此長方形面積=6x3=18
到這邊已經處理完邊長為nxm ; n,m皆為正整數的情況
下一步應該處理 長寬為正整數的比值的情況
也就是長為 m/p 寬為 n/q , (m,n,p,q皆為正整數) 的長方形
容易看出, 把 pxq 個相同的長方形排在一起, 可以得到一個邊長為 mxn 的大長方形
因此就得到每個長方形的面積為 (mxn)/(pxq)
最後假設長寬為根號三的正方形面積為X
我們可以用兩個數列來逼近根號三 :
An = 1.7, 1.73, 1.732, 1.7320, 1.73205 , ......
Bn = 1.8, 1.74, 1.733, 1.7321, 1.73206 , ......
因為小數可以寫成分數
所以長寬為 An 的正方形邊長為 An^2 長寬為 Bn 的正方形邊長為 Bn^2
而 An < 根號3 < Bn 因此 所有邊長為 An 的正方形都比 邊長為 根號3的正方形小
而 所有邊長為Bn 的正方形都比邊長為根號三的正方形大
但是 當 n 很大的時候 An^2 和 Bn^2 會無限的接近 3 所以邊長為根號三的正方形面積
只能等於 3
把以上思路寫得正式一點的話:
設數列 An = 17/10, 173/100, 1732/1000, ...... , Pn / 10^n, ......
數列 Bn = 18/10, 174/100, 1733/1000, ......., (Pn + 1)/10^n, ......
其中 Pn = 使得 [ Pn/10^n ]^2 < 3 的最大整數
對所有正整數 n , An < 根號3 < Bn , An^2 < 3 < Bn^2
而長寬為 An的正方形面積 < 長寬為根號三的正方形面積 < 長寬為Bn的正方形面積
也就是 An^2 < X < Bn^2
但是 Bn^2 - An^2 = (2Pn + 1) / 10^2n
< (4*10^n + 1) / 10^2n = 4/10^n + 1/10^2n
因此 | Bn^2 - An^2 | 隨著n變大, 可以無限的縮小
因此滿足 An^2 < X < Bn^2 的實數是唯一的, 也就是 X = 3
(可以證明 若 X < 3, 則必找得到 正整數 u 使得 n>u時, An > X 矛盾 ;
同理若 X>3, 則必找得到正整數 v 使得 n>v時, Bn < X 矛盾)
: 我想請問的是 那要如何解釋邊長為根號3的正方形面積為 根號3 x 根號3=3 ?
: 有了上面那個解釋
: 我們才可以推到任意長和寬的長方形面積=長x寬.....thx~~
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