推 hwanger : 不管任何算子 空間皆可以拆解成循環子空間的直和 09/04 06:34
→ hwanger : 並在適當的選取基底下 其矩陣表示是rational canon 09/04 06:34
→ hwanger : ical form 09/04 06:34
推 hwanger : (更準確地說 是該算子限定在每一個summand時 其特徵 09/04 06:58
→ hwanger : 多項式是不可約多項式的次方時 則我們有rational ca 09/04 06:58
→ hwanger : nonical form) 09/04 06:58
推 hwanger : 而jordan form存在的充要條件是該算子的特徵多項式 09/04 07:05
→ hwanger : 在目前的係數域中可以寫成一次項的相乘 在此情況下 09/04 07:05
→ hwanger : 我們可以重新選取"上述循環子空間的每個summand" 09/04 07:05
→ hwanger : 的基底 使該算子的矩陣表示就是jordan form 09/04 07:05
推 hwanger : 而nilpotent算子的特徵多項式是λ^n 所以總是有 09/04 07:10
→ hwanger : Jordan form 09/04 07:10
推 hwanger : "在 nilpotent 算子情況下..." 這段 空間總是可以拆 09/04 07:16
→ hwanger : 成循環子空間的直和 不管算子是否為nilpotent 09/04 07:17
推 hwanger : "但在非 nilpotent 算子的情況下..."這段 不知道你 09/04 07:20
→ hwanger : 所講的定理是什麼 冏 09/04 07:20
推 hwanger : 文章自此之後都依賴於"這一段" 所以我其實都看太懂 09/04 07:24
→ hwanger : 看不太懂 或許你直接算個例子 並從例子中闡釋你的想 09/04 07:27
→ hwanger : 法 這樣比較能讓人明白你的問題點在哪 09/04 07:28
→ NTUmaki : 這樣說起來好像我從頭到尾都理解錯...我先整理一下 09/04 11:21
→ NTUmaki : 我的問題 晚點回覆 09/04 11:21
推 hwanger : 沒留意到冪零算子的rational form和Jordan from是一 09/04 11:38
→ hwanger : 樣的 所以我大概可以理解你原本想說什麼了(?) 09/04 11:39
→ hwanger : 讓T:V→V 先考慮最簡單的情況 假設T的特徵多項式可 09/04 11:41
→ hwanger : 以分解成一次式相乘 設V=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 09/04 11:44
→ hwanger : 其中C(vi)為由vi所生成的循環子空間且T_C(vi)的特徵 09/04 11:46
→ hwanger : 多項式為(t-λi)^ni 則有兩個cases 09/04 11:48
→ hwanger : Case 1. 若T為nilpontent 則由{vi,T(vi),T^2(vi)..} 09/04 11:51
→ hwanger : 所生的basis剛好可以拿來當Jordan form的basis 09/04 11:52
→ hwanger : Case 2.若T不為nilpotent 則由{vi,T(vi),T^2(vi)..} 09/04 11:53
→ hwanger : 只能拿來當rational form的basis 不能拿來當Jordan 09/04 11:55
→ hwanger : form的basis 你必須選一個u滿足(T-λi)^{ni-1}u非0 09/04 11:58
→ hwanger : 再用{u,(T-λi)(u),(T-λi)^2(u),...}來當Jordan 09/04 12:00
→ hwanger : form的basis 但即使在這個情況下 C(vi)只對應到一個 09/04 12:02
→ hwanger : 完整的Jordan block 不會分裂成兩個以上Jordan 09/04 12:03
→ hwanger : block 沒有所謂"直和再直和"的情形發生 09/04 12:04
推 hwanger : 接著考慮更複雜的情況 讓F為一個field M為一個nxn的 09/04 12:09
→ hwanger : 矩陣 使得M的特徵多項式無法在F中分解成一次式相乘 09/04 12:10
→ hwanger : 設F^n=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 其中C(vi)為由vi所 09/04 12:11
→ hwanger : 生成的循環子空間且T_C(vi)的特徵多項式為fi^ni(x) 09/04 12:12
→ hwanger : 其中fi為F-不可約多項式 09/04 12:15
→ hwanger : 假設E為F的filed extension使得M的特徵多項式可以在 09/04 12:16
→ hwanger : E中分解成一次式相乘 並且我們想繼續(符號的濫用)分 09/04 12:18
→ hwanger : 解 E^n=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 則此時因fi可能有 09/04 12:21
→ hwanger : 兩個以上不同的根 所以C(vi)會再分解成兩個以上的 09/04 12:22
→ hwanger : Jordan blocks 有一種"直和再直和"的感覺(其實並沒 09/04 12:23
→ hwanger : 有 因為你一開始的V是F^n 你接著做的Jordan decomp. 09/04 12:26
→ hwanger : 實際上是考慮 1_E(x)M作用在 E^n=E(x)F^n 其中(x)表 09/04 12:31
→ hwanger : 示tensor product) 09/04 12:31
推 hwanger : 最後考慮更一般的情況 V=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 09/04 12:53
→ hwanger : 僅僅假設C(vi)為T的循環子空間而不附帶任何條件 09/04 12:55
→ hwanger : 此時C(vi)可能可以再裂解成兩個以上的循環子空間 09/04 12:57
→ hwanger : 也就是說 我此前所考慮的其實是分解到最小的循環子 09/04 12:58
→ hwanger : 空間 但一般而言 一個循環子空間是可以再寫成一堆循 09/04 12:59
→ hwanger : 環子空間的direct sum 09/04 12:59
推 hwanger : ok 重新看了一下你的文章 確定我完全不懂你在說什麼 09/04 13:12
→ hwanger : 冏 09/04 13:12
推 hwanger : 再猜一次你的想法 讓T:V→V的最小多項式為 09/04 13:19
→ hwanger : (t-λ1)^n1*(t-λ2)^n2*...*(t-λk)^nk 09/04 13:21
→ hwanger : 則V=N((t-λ1)^n1)⊕...⊕N((t-λk)^nk) 其中N(*) 09/04 13:24
→ hwanger : 表示null space 09/04 13:24
→ hwanger : 考慮T-λi作用在N((t-λi)^ni)上 則其為nilpotent 09/04 13:27
→ hwanger : 故T-λi在N((T-λi)^ni)的Jordan form 就是rational 09/04 13:29
→ hwanger : form 所以只需要考慮cyclic subspaces的decompositi 09/04 13:31
→ hwanger : on 故N((T-λi)^ni)=C(vi1)⊕C(vi2)⊕...⊕C(vih) 09/04 13:32
→ hwanger : 而這個分解是針對T-λi而言 09/04 13:34
→ hwanger : 全部代回V 就有 V=⊕_{i,j} C(vij) 所以看起來好像 09/04 13:36
→ hwanger : 切了兩次 09/04 13:36
推 hwanger : 但這裡要注意的是 實際上C(vij)也是T的循環子空間( 09/04 13:40
→ hwanger : 同樣由vij所生成) 而V=⊕_{i,j} C(vij)的確寫成了T 09/04 13:41
→ hwanger : 的循環子空間的直和 所以你認為"只有nilpontent算子 09/04 13:43
→ hwanger : 其作用的空間才可以拆解成循環子空間的直和"是錯的 09/04 13:45
→ NTUmaki : 頭好痛QQ 出現一些我沒學過的字（rational form、一 09/04 13:54
→ NTUmaki : 次式、...） 我把我學的脈絡整理一下..等等請你幫我 09/04 13:54
→ NTUmaki : 看看是不是對的 09/04 13:54
推 hwanger : Ok 不過我需要更正一下我上面講的一件事 09/04 13:59
→ hwanger : 若C(v)是T的一個循環子空間 且T_C(V)特徵多項式為 09/04 14:00
→ hwanger : (t-λ)^n 則{v,T(v),...}為rational form的basis 而 09/04 14:02
→ hwanger : {v,(T-λ)(v),(T-λ)^2(v),...}即為Jordan form的 09/04 14:03
→ hwanger : basis 不需要另外找u了 09/04 14:03
→ NTUmaki : 我整理大概如上面那樣～不知道看不看得到 09/04 14:51
→ NTUmaki : 接續一個疑問，最後變成說 空間一定可以拆成廣義eig 09/04 15:06
→ NTUmaki : enspace直和 是因為 在廣義eigenspace情況下 幾何重 09/04 15:06
→ NTUmaki : 數=代數重數 所以可以類似對角化（只是對角是block 09/04 15:06
→ NTUmaki : ） 應該沒錯吧 09/04 15:06
推 hwanger : 第2點的lemma 很明顯的漏了條件了 你應該是要k為特 09/04 17:14
→ hwanger : 徵多項式中x-0的重數是吧 09/04 17:14
→ hwanger : 第3點的heig是什麼 沒有聯想到任何名詞 09/04 17:15
就是向量v他T^k後會變成0
→ hwanger : 不過無關緊要 09/04 17:16
→ hwanger : 第5點的部份 你只學nilpotent的情形 是嗎? 09/04 17:16
→ hwanger : 一般來說 第5點就是rational canonical form 09/04 17:17
→ hwanger : (Frobenius normal form) 而S_k就是所謂的Companion 09/04 17:17
了解..下移矩陣我猜是老師自己創的名詞
→ hwanger : matrix (我沒聽過叫下移矩陣 不好意思見少識淺) 09/04 17:18
→ hwanger : 如同你說的 他不用任何條件 任何算子都可以 09/04 17:19
→ hwanger : 你第6點說的除了r和k有關的結論 其他在一般算子也都 09/04 17:20
→ hwanger : 成立 正如你第5點所說的"就不用條件" 09/04 17:21
→ hwanger : 而你第6點需要nilpotent 純粹就是因為此時Companion 09/04 17:22
→ hwanger : matrix剛好就是Jordan block的形式 09/04 17:22
嗯嗯 所以 nilpotent的情況 不用再切一次的意思
→ hwanger : 第8點 nilpontent並沒有保證幾何重數=dim(W1) 09/04 17:23
→ hwanger : am是代數重數才對 09/04 17:23
→ hwanger : 我不太確定你是從哪本書上學到這些結論的 但一般我 09/04 17:25
→ hwanger : 們不是這樣看第8第9點的(更準確的說 我還是不知道 09/04 17:25
→ hwanger : 你想講什麼) 09/04 17:26
就是從 nilpotent算子的jordan form 推到 一般算子的 jordan form 思路是不是如我所打的
→ hwanger : 我上面有說到 一般來說 若T的特徵多項式是 09/04 17:27
→ hwanger : f(t)=(t-λ1)^n1*(t-λ2)^n2*...*(t-λk)^nk 09/04 17:27
→ hwanger : 則我們會證V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk 09/04 17:27
→ hwanger : 而這裡的K(λi)=Ker((T-λi)^ni)就是generalized 09/04 17:28
→ hwanger : eigenspace(之所以稱作"廣義" 是因為 09/04 17:28
→ hwanger : V(λi)=Ker(T-λi)) 09/04 17:29
→ hwanger : 第10點形式上是完全ok的 只是我看不出和第8第9點的 09/04 17:30
→ hwanger : 觀念何關 09/04 17:30
→ hwanger : 第11點的結論就是我從13:19到13:36的推文所說的 09/04 17:31
→ hwanger : 最後你15:06分所說的 幾何重數是定義成independent 09/04 17:31
→ hwanger : 的eigenvectors的最大個數 應該沒有定義成 09/04 17:32
→ hwanger : independent的generalized eigenvectors的最大個數 09/04 17:32
→ hwanger : 才對 你應該是想說對應到λ的generalized 09/04 17:33
→ hwanger : eigenspace的維度=λ的代數重數才對 09/04 17:33
對對對 沒錯
推 hwanger : 而"空間一定可以拆成廣義eigenspaces"是因為如前所 09/04 17:48
→ hwanger : 述 我們會證V=Ker((T-λ1)^n1)⊕..⊕Ker((T-λk)^nk 09/04 17:48
推 hwanger : V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk是能做廣義 09/04 17:51
因為沒證 所以我想把他大致理解成 他是把他推到 generalized eigenspace 這樣他的維度就會=代數重數，某種程度上很像之前學的對角化等價條件（只是這裡對角是block
→ hwanger : eigenspaces decompostion最重要的定理 但你通篇只 09/04 17:51
→ hwanger : 有第11點有稍稍提到一下 而且你似乎沒打算要證 冏 09/04 17:52
QQ 因為不是for 數學系的線代 老師說幾個定理不證 只知道結果就好
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:34:58
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:36:04
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:37:11
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:37:56
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:38:40
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:40:37
→ NTUmaki : 總之可以理解成 nilpotent 是 最後定理的其中一個ca 09/04 19:41
→ NTUmaki : se （最後出來的 jordan form 比較不用切那麼多塊） 09/04 19:41
→ NTUmaki : 這樣吧！？ 有些核心定理沒證...我只想大致理解他 09/04 19:41
→ NTUmaki : 的概念 09/04 19:41
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:42:32
推 hwanger : [17:15]如果heig是這個意義 那就很有問題了 冏 一般 09/04 21:34
→ hwanger : 來說是找最小的k滿足{v,T(v),T^2(v),...,T^k(v)}是 09/04 21:35
→ hwanger : 線性相依的 而不是T^k(v)為0的 09/04 21:35
→ hwanger : [17:22]nilpotent是不用切第一次 但你還是得切成 09/04 21:36
→ hwanger : cyclic subspaces 09/04 21:36
→ hwanger : [17:26]老實說 你其實表達的很模糊 我只能說我可以 09/04 21:37
→ hwanger : 很輕易的把第8第9點解釋成正確的東西 但完全不能斷 09/04 21:37
→ hwanger : 定我的想法和你心中的認知是否一致 冏 因為是你想搞 09/04 21:37
→ hwanger : 懂的 所以你應該想辦法給出更清晰的說法 09/04 21:38
→ hwanger : 並且同[17:51]和[17:52] 09/04 21:39
→ hwanger : V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk之所以為核 09/04 21:40
→ hwanger : 心定理 是因為一旦理解之後 其他性質就很容易入手 09/04 21:41
→ hwanger : 你可以不用證明這個定理 但是最好是去理解這個定理 09/04 21:41
→ hwanger : (這個定理其實也只是Cayley–Hamilton的進一步推廣 09/04 21:41
→ hwanger : 而已) 09/04 21:42
→ hwanger : 17:51]這個不是什麼等價條件 是當over C時 我們一定 09/04 21:42
→ hwanger : 有這個分解 09/04 21:43
→ hwanger : [19:41]這樣想是沒問題的 09/04 21:44
→ hwanger : 現在比較冏的事是我其實是用更簡單的理論(modules 09/04 21:45
→ hwanger : over PID)去想rational form和Jordan form的 所以很 09/04 21:45
→ hwanger : 多事情是相當trivial的 但為了理解這個更簡單的理論 09/04 21:45
→ hwanger : 你反而需要更多先備知識 09/04 21:45
→ hwanger : 如果要把這個理論簡化成對一般線代學習者可以理解的 09/04 21:46
→ hwanger : 那V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk)就會是 09/04 21:46
→ hwanger : 核心知識 所以才會希望你可以正視這個東西 09/04 21:46
→ hwanger : 當然如果你只是單純想算jordan form 那就不用理解這 09/04 21:47
→ hwanger : 些東西 09/04 21:47
→ NTUmaki : 了解...其實發現最後算的時候也不知道在幹嘛 因為核 09/05 12:36
→ NTUmaki : 心定理沒證@@ 感謝回答 09/05 12:36
推 hwanger : 其實單純只是會算Jordan form還是滿有用處的 他常應 09/05 18:47
→ hwanger : 用在矩陣次方的計算上 比方說要算exp(A)或cos(A)之 09/05 18:48
→ hwanger : 類 計算這類東西不懂整個理論是完全OK的 09/05 18:49