[中學] 兩線交點軌跡的圖形

[choun (原來跑步這麼舒服)]

坐標平面上有兩直線 L: y=ax+a+2  M:y=bx-3b

已知兩直線互相垂直，當實數a,b取不同值時，直線L，M的交點P也會隨之改變

並落在圖形N上

試證明，圖形N是圓的一部分


我解出交點的x座標為 (3-2a-a^2)/(1+a^2)
            y座標為 (4a+2)/(1+a^2)

然後就進行不下去了…

用desmos畫圖出來，感覺得到一部分是圓，應該是沒錯…

但是證不出來… 還請大大幫忙！謝謝。



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推 reye        : 把原式寫成y-2=a(x+1),y-0=(-1/a)(x-3)
→ reye        : 圓心是不是呼之欲出了
推 reye        : 咦，好像不太對，我想清楚點再回覆
推 reye        : 應該是以(-1,2)(3,0)為直徑的圓
→ reye        : 因為直徑對應的圓周角是直角
推 hwanger     : r大的解法很漂亮
→ hwanger     : 這裡我順著原po的想法繼續 令(x_sol,y_sol)為原po解
→ hwanger     : 出來的解 則我們想要找到c,d使得對所有a 滿足
→ hwanger     : (x_sol-c)^2+(y_sol-d)^2是常數 展開並化簡一下得
→ hwanger     : (c^2+d^2+2c+1)a^2+(4c-8d+4)a+(c^2+d^2-6c-4d+13)
→ hwanger     : 要是a^2+1的常數倍(對於所有a) 所以二次項係數=常數
→ hwanger     : 項係數 一次項係數=0 解得 c=1 d=1
→ hwanger     : 代回去(x_sol-1)^2+(y_sol-1)^2=5 就用代數的方法證
→ hwanger     : 完了
→ hwanger     : 下面是用來硬算的程式 (使用SageMath)
→ hwanger     : https://paste.ofcode.org/35DdqxYjTbbuEyvsZzA5HzW
→ choun       : 謝謝樓上大大！感謝