Re: [幾何] 三角型內求角度

[cheesesteak (牛排‧起司)]

※ 引述《dadandog (大丹)》之銘言：
: https://i.imgur.com/SxyeIJ6.jpg
: 各位大大好
: 家教學生問的題目
: 抱歉無答案
: 有請大神指點
:  感謝！

用座標化和三角函數和差化積硬解

設A(0,0), M(15/2,0), B(15,0), D(2cos40,2sin40), E(15-2cos46,2sin46)

N(15/2+cos40-cos46, sin40+sin46)

MN向量=(cos40-cos46, sin40+sin46), MB=(15/2,0)=15/2*(1,0)

cosNMB= MN‧MB / (|MN|*|MB)

      = (cos40-cos46)/sqrt[(cos40-cos46)^2+(sin40+sin46)^2]

分母根號內= 2 + 2(sin40sin46-cos40cos46)

          = 2 - 2cos(46+40) = 2 - 2(1-2(sin43)^2) = 4(sin43)^2

分母= sqrt[4(sin43)^2]= 2sin43

分子= cos40-cos46 = -2sin43sin(-3) = 2sin43sin3

cosNMB = sin3 = cos87, NMB = 87度

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推 Vulpix      : 也可以用向量。MN=(AD+BE)/2，所以N在角平分線上。
→ reye        : 向量MN=(AD+BE)/2可以連AE或BD得證
→ reye        : 請教樓上怎麼導出N在角平分線上，是角BCA上？
推 dadandog    : 太感謝了!! 我有想過用座標解 解到一半就放棄了XD
→ hwanger     : 因為AD=BE 又MN=(AD+BE)/2 所以MN平分AD和BE的夾角
→ hwanger     : (菱形對角線平分菱形的角) 而AD,BE的夾角恰好是CA,
→ hwanger     : CB夾角的對角 所以NM直線平分N角BCA
推 hwanger     : ok 我想錯了 在那之前要先證明MN通過C 根據角平分線
→ hwanger     : 定理這是不可能發生的
→ reye        : 如果成立的話，那三角形CDE是等腰三角形
→ reye        : CD=CE，剩下就是國中幾何了
→ reye        : 檢驗後答案也確實是87度
推 hwanger     : 所以直接用這個MN=(AD+BE)/2來算 平移這三個向量使
→ hwanger     : 其起點一樣 AD和水平夾40度 而MN又和AD夾47度 所以M
→ hwanger     : N和水平夾87度
推 hwanger     : 這裡的水平線是AB直線 以防有人畫的圖不一樣
→ reye        : 可是如果CD=CE，又AD=BE，那角A應該要等於角B啊？
→ reye        : 晚點有空再想清楚XD
推 hwanger     : XD 不要管C了 將MN向量平移 使MA重合 令為AN' 將BE
→ hwanger     : 向量平移 使BA重合 令為AE' 則如前所述 AN'平分AD,
→ hwanger     :  AE'夾角 所AN'和AD夾47度 而AD又和AB夾40度 得AN'
→ hwanger     : 和AB夾87度 而AN'和MN平行
推 Vulpix      : 角平分線的角是向量夾角啦。可以把向量平移到以M為
→ Vulpix      : 起點來看。
→ reye        : 那這題應該可以用國中幾何做，懂了
推 reye        :  https://i.imgur.com/bxRz4px.jpg
→ reye        : 國中做法XDD
→ cheesesteak : 推向量平移和樓上國中幾何作法
推 dadandog    : 推大家的解法!!