[中學] 可能與數論或多項式有關的習題

[hau (小豪)]

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如上圖，

將其想成 2^2 + 2^(t+2) + 2^(2t) = ( 2 + 2^t )^2 ，其中 t 為正整數

不難看出 n 有兩解 7,16

(或用其它方法也可看出)

另外，不難看出 7 是 n 的最小值，問題是：「能證明 16 是 n 的最大值嗎？」

(這題有簡答 23)

從簡答來看，請問如何證明 16 是 n 的最大值？

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推 LPH66       : 可以簡單證得大於 16 的偶數都不是解
→ LPH66       : 2^(2k) + 1028 < (2^k + 2)^2 化簡得 2^k > 256
→ LPH66       : 所以 k > 8 (即偶數 n > 16) 不是解
→ LPH66       : 奇數我就不確定要怎麼做了...
→ hwanger     : 7和16似乎就是唯二的解(至少在n從1到一百萬是如此)
推 hwanger     : 不妨就假設n=m+2>10 則原問題就變成問2^m+2^8+1何時
→ hwanger     : 是完全平方數 就考慮是完全平方數的情況 則我們可以
推 hwanger     : 令2^m+2^8+1=(k*2^8+h)^2 其中k為非負整數 而h是介
推 hwanger     : 於0到255之間的整數 因為此數除以8餘1 則h只能是1,
→ hwanger     : 129,127,255這四種可能
→ hwanger     : typo: 此數除以2^8餘1才對
→ hwanger     : Case 1. 若h=1 則2^m+2^8+1=(k^2)*2^16 + k*2^9 + 1
→ hwanger     : 由二進制的唯一性 我們得到矛盾
→ hwanger     : Case 2. 若h=129 則2^m+2^8+1=
→ hwanger     : (2^9)*k*[k*2^7+2^7+1] + 2^14 + 2^8+1 其中包含k的
推 hwanger     : 那串因二進制的唯一性只能為0 此時得m=14
→ hwanger     :  Case 2. 若h=127 則2^m+2^8+1=
推 hwanger     : [(2^7*k + 2^7 - 1)*k + 31]*(2^9)+ 2^8 + 1
推 hwanger     : 先停一下 XD
推 hwanger     : 這個case突然卡住了 先做另一個case XD
→ hwanger     : Case 3. 若h=255 則2^m+2^8+1=
→ hwanger     : (2^9)*[(2^7)*k^2+255k+255] + 1 則由二進制的唯一
→ hwanger     : 性 這個case也是矛盾
推 hwanger     : Case 2好像也有點卡卡的 冏