→ hwanger : 假設f是analytic的話 應該是可以證 不太確定假設連09/27 19:49
→ hwanger : 續或可微是否可證 什麼都不假設 就有反例如下09/27 19:50
→ hwanger : 視R是一個over Q的vector space 則由Zorn's lemma可09/27 19:52
→ hwanger : 得一個包含1的basis B 定義f是一個translation合成09/27 19:56
→ hwanger : 一個linear map, T。L 其中T(x)=x+1/2, L(1)=1,09/27 19:58
→ hwanger : L(b)=-b for all b in B, b不等於109/27 19:59
→ hwanger : Typo:T(x)=x+1 故T。L。T。L(x)=(T。L)(L(x)+1)=09/27 20:02
→ hwanger : T(L^2(x)+1) = L^2(x) + 2 = x+209/27 20:03
這裡應該先考慮一些好的條件，例如連續可微反函數存在等等，解析函數不知是否太強，不
過若解析函數能使的f(z)=z+1唯一成立，是否能再進一步利用實部與虛部的對稱來得到實數
的命題呢？
※ 編輯: coastq22889 (110.28.164.221 臺灣), 09/27/2020 20:11:56
→ hwanger : 不太確定為何原PO必須先考慮複解析函數再考慮實解析09/27 22:08
→ hwanger : 函數 反正我現在也沒那麼確定analytic的case(原本是09/27 22:10
→ hwanger : 要用類似Theorem 3.4, Complex Analysis, S. Lang去09/27 22:11
→ hwanger : 硬算 還沒真的驗證過) 不過只考慮可微是有反例的09/27 22:13
→ hwanger : 令f(x)為下圖中由一堆四分之一圓所連成的函數09/27 22:14
→ hwanger : 令g(x)=f(x)-2 則f,g因為對x=y對稱 所以互為反函數09/27 22:17
→ hwanger : x=g(f(x))=f(f(x))-2 故f(f(x))=x+209/27 22:18
感謝！居然可以這樣造出反例，讓我再好好研究一下
→ hwanger : 有一點小缺陷 上面的例子只能用作連續情況的反例 不09/27 22:21
推 Vulpix : 那你就把cos的圖形壓扁一點再旋轉之45度啊。09/27 22:23
→ hwanger : 過改個六分之一圓的相接就可以造可微情況的反例 09/27 22:24
→ Vulpix : 然後這就會是解析反例。 09/27 22:26
→ hwanger : 其實也考慮過V大所說的 如果造得出來就會是解析反例 09/27 22:32
→ hwanger : 不過f(x)和f(x)-2對稱於x=y這個條件其實也沒那麼容 09/27 22:33
→ hwanger : 易達成 冏 09/27 22:34
推 TimcApple : 由於 f(x) = y implies f(x+2) = y+2 09/27 22:47
→ TimcApple : 所以只要 f 對 y=x+1 對稱再沿 y=x+1 平移根號 2 09/27 22:48
→ TimcApple : 的圖形長的一樣就好09/27 22:48
→ TimcApple : sin(pi x)/2pi 逆時針轉 45 度再往上平移 1 09/27 22:49
→ TimcApple : 就符合條件了 09/27 22:49
→ hwanger : 稍微釐清了一下三角函數轉pi/4是ok的 不過會出現新 09/27 22:54
→ hwanger : 的問題 為何轉了之後還是可以解析的 09/27 22:55
其實不一定要解析啦，連續函數就可以了，解析只是看說如果有更強的條件看有沒有機會達
到
→ hwanger : 不過至少三角函數所造出來的例子可以當作無窮可微的 09/27 22:56
→ hwanger : 反例 09/27 22:56
推 Vulpix : 就推給隱函數那類定理嘛XD 09/27 22:56
→ hwanger : XD 我一開始也很想推給這類定理 不過李組長眉頭一皺09/27 23:07
→ hwanger : 發覺案情並不單純... XD 09/27 23:08
※ 編輯: coastq22889 (110.28.164.221 臺灣), 09/27/2020 23:10:11
→ hwanger : 那重新縮放cos並向上抬1 再旋轉45度 再用隱函數定理 09/27 23:22
→ hwanger : 就可以證明有一個無窮可微的反例 09/27 23:23
→ hwanger : 我們只剩下可解析可以說嘴了(假設f是polynomial就等 09/27 23:27
→ hwanger : 於沒有假設了 冏) 09/27 23:28
推 TimcApple : 設 g(x) = f(x) - x, 這樣 g(x) 的週期至少是 2 09/27 23:39
→ TimcApple : 然後 Fourier 一下 應該就是可解析了吧 09/27 23:39
→ TimcApple : (還是 Fourier 和可解析無關, 可是 g 是連續的喔) 09/27 23:40
→ TimcApple : 啊我不知道XD 有人能繼續嗎(?) 09/27 23:40
→ hwanger : XD 看不太懂T大想要幹什麼 不過"Fourier 一下"應該 09/27 23:48
→ hwanger : 是指Fourier transform 做出來的例子和可解析通常無 09/27 23:49
→ hwanger : 關 冏 現在更冏的是太多工程數學把FT描述得太神了 09/27 23:51
→ hwanger : 就算原函數有一定程度的分析的性質 FT得到的series 09/27 23:53
→ hwanger : 仍然可以是光怪陸離的 冏 09/27 23:54
→ hwanger : 離FT有段時間了 不過隱約記得是有可能從連續函數造 09/27 23:57
→ hwanger : 出處處不收斂的Fourier series 09/27 23:59
→ hwanger : 而且Fourier series就算收斂也沒保證連續 冏 09/28 00:01
→ hwanger : Fourier series遠沒有Taylor series來得好 不過因為 09/28 00:04
→ hwanger : 處理wave很方便 所以才這麼重要 冏 09/28 00:06
推 Vulpix : FS在斷點收斂到平均值，這不是非常美好嗎XD 09/28 00:06
→ hwanger : XD 實用最重要 09/28 00:28
→ TimcApple : 我的意思是 找個不要太醜的函數 用 Fourier 拆了 09/28 00:28
→ TimcApple : 每個 sin 再用 Taylor 拆光 最後檢查有沒有收斂 09/28 00:29
→ hwanger : 上面打錯 不是處處不收斂 而是可以在一個countable 09/28 00:29
→ TimcApple : 如果有這樣的函數那不就是 analytic 09/28 00:30
→ hwanger : dense subset上不收斂 09/28 00:30
→ TimcApple : 我沒有說所有能用 Fourier 表示的函數都要沒問題啊 09/28 00:30
→ hwanger : 我沒有說不可能做得到呀 冏 我只是想說我們其實沒有 09/28 00:34
→ hwanger : 任何定理保障這樣嘗試會有希望 而且更常出現的情況 09/28 00:35
→ hwanger : 是 我們由此造出來的函數通常會在離散點上不是可解 09/28 00:36
→ hwanger : 析的 冏 09/28 00:37
→ Vulpix : 這是我把多出來的東西扣掉的結果。其實過程是單純的 09/28 00:37
→ Vulpix : ：y=0.5cos(π(x+y)/2)在某個區間內可以寫成 09/28 00:39
→ Vulpix : arccos(2y)=π(x+y)/2，也就是 09/28 00:39
→ Vulpix : x=2/π*arccos(2y)-y 而這是解析函數，延拓他到 09/28 00:44
→ Vulpix : 複數域上，局部來說都可以得到解析反函數。 09/28 00:45
→ Vulpix : 所以 y=0.5cos(π(x+y)/2) 解析，那加上 x±1 也都 09/28 00:46
→ Vulpix : 解析了！ 09/28 00:46
→ Vulpix : 要說明解析真的很難，複數延拓好像是最好用的了。 09/28 00:48
→ Vulpix : 現在應該還剩下 y=0.5cos(π(x+y)/2) 的極值點:p 09/28 00:48
推 hwanger : 冏 可是eq3得到的power series y=y(x)只能用在eq3上 09/28 00:49
→ hwanger : 就算eq2的y'可以寫成x的power series y'(x) 他也不 09/28 00:52
→ hwanger : 是eq3的y(x) 冏 09/28 00:52
→ hwanger : 這就有點像考慮 y=(2y+x)+x-1 和 y=(2y+x) 09/28 00:55
→ hwanger : 我舉得例子真爛 冏 09/28 00:57
→ hwanger : 我想講得是 eq3得到y(x)不可能只是加x-1 就變成eq2 09/28 00:59
→ hwanger : 的power series 09/28 00:59
→ hwanger : 但是我也覺得eq1應該就是反例 不過畢竟沒有證明 09/28 01:08
→ hwanger : 話說eq3根本不是eq1得到的函數再去減x+1 冏 這次終 09/28 01:24
→ hwanger : 於有一個像樣的例子 y=y^2+x+1得到y=f(x) 但 09/28 01:25
→ hwanger : f(x)-(x+1) 不應該是y=y^2 09/28 01:26
→ hwanger : theorem for several complex variables在eq1上就好 09/28 01:48
→ hwanger : 了 冏 跟多複變不熟 09/28 01:49
推 Vulpix : 問題是隱函數定理最後只能做出 C^∞ 啊。 09/28 02:14
→ Vulpix : 沒事，對。通常就是用這種。 09/28 02:16
推 chemmachine : F不要求連續有無窮多個UNCOUNTABLE反例，F^2(X)將1 09/28 10:12
→ chemmachine : 送到3，所以可以找到f(x)=x+1只定義在x=1或 09/28 10:14
→ chemmachine : f(x)=x*sqrt(3/1)則f(f(x))=1*sqrt(3/1)*sqrt(3/1) 09/28 10:16
→ chemmachine : f(x)在x=2可定義為f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(4/2) 09/28 10:17
→ chemmachine : 如此類推，在x=a處定f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(a+2/a) 09/28 10:18
→ chemmachine : 每一點至少兩組解共有2^R個可能R的個數為ALPHA NAUG 09/28 10:20
→ chemmachine : HT1，這只是基本處處不連續狀況，所以必要條件才比 09/28 10:21
→ chemmachine : 較有討論性 09/28 10:22
→ hwanger : 先看f(f(1))=f(√3) 按照你的定義接著不是乘√3 因 09/29 08:40
→ hwanger : 為f(1)!=f(√3)=√3*√(√3+2/√3)!=3 09/29 08:40
→ hwanger : 如果只是要uncountable多結果的結論 用我一開始的 09/29 08:45
→ hwanger : 反射+平移的例子 或之前在用三角函數時 調整縮放的 09/29 08:45
→ hwanger : 高度 09/29 08:45
推 chemmachine : HW大你誤會了，F(1)=1*3^0.5 F(3^0.5)=3^0.5*3^0.5 09/29 09:49
→ chemmachine : 喔喔不同點不一樣，恩這個有錯。就用反射+平移和X+1 09/29 09:52
→ chemmachine : 造出UNCOUNTABLE的非連續點點反例 09/29 09:52