[代數] 這不等式有人證過了嗎

[Rasin (雷森)]

強者我朋友

在處理賭博期望估計的時候發現的一個不等式

P1*a + P2*b >= a^P1 * b^P2 ...P1+P2=1; a>0,b>0

若P1=P2就會變成算幾不等式

賭博上還滿好用的 不知道有沒有人證過了?


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※ 編輯: Rasin (1.168.112.84 臺灣), 09/30/2020 17:07:50
推 LPH66       : 令隨機變數 X 有 p1 機率為 a, p2 機率為 b
→ LPH66       : 則原式可變形為 ln(E[X]) >= E[ln(X)]
→ LPH66       : 查了一下好像可以用 Jensen's inequality 反著用
推 cuylerLin   : convex combination, Jensen's inequality
→ LPH66       : (還是直接用? 我有點不確定方向 @@)
→ Ricestone   : 對指數函數用Jensen不等式
→ Rasin       : 原本是打算轉成夠多個實數相加 變成N項算幾不等
→ Rasin       : 但是P是無理數循環小數稍微麻煩 所以問看看這種
→ Rasin       : 東西可能有人證過或發現過了
推 Vulpix      : 這就是算幾不等式啊。
推 Vulpix      : 考慮k平均 f(k)=(P1*a^k+P2*b^k)^(1/k)
→ Vulpix      : 容易驗證 f(k) 遞增，而且 f(k)→a^P1*b^P2 as k→0
→ Rasin       : 感謝線索 我再重整寫看看
推 giraffe1021 : 這就是weighted am-gm inequality 維基上有介紹
→ TimcApple   : 設 f(x) = xa + (1-x)b - a^x b^(1-x) on (0,1)
→ TimcApple   : 當 x 為有理數時 f(x) >= 0, 且 f 顯然連續
→ TimcApple   : 因此對所有 x in (0, 1), 皆有 f(x) >= 0
推 THEJOY      : Young's inequality?
→ Rasin       : 楊應該是最直接的
→ Rasin       : 賭博上會跟均值不等扯上邊還滿有意思的
→ Rasin       : 還有一個有點意思 賭局水位就是調和均值
→ Rasin       : 無聊有興趣可以打發一下時間
推 Vulpix      : 雙人是，三人賭博也是嗎？
→ Rasin       : 原題嗎還是水位問題
→ Rasin       : 原題對Pi都成立 水位調和中項會是所有可能的支付率
→ Rasin       : 總和 /n就是各別平均支付率
→ Rasin       : https://imgur.com/NkAid1D
→ Rasin       : 調和平均=14/(1/4.25+1/7+...+1/7)=7.716
→ Rasin       : 支付率=0.55, 返還(投報)率=支付率-1=-0.45
→ Rasin       : 支付率=機率*賠率=期望值每單位資金
→ Rasin       :                  單位資金期望值
→ erre        : 快點丟到arxiv插旗
→ Rasin       : 楊都已經證明出來了沒什麼好投的
→ Rasin       : 有興趣的大大可以試試證明套到五大均值不等
→ Rasin       : 有興趣可以拿來改寫半凱利投個小期刊