[其他] 一個邏輯問題

[vacuityhu (真空管)]

有個邏輯問題我一直想不通...

如果 P=>Q 是真

那我們都知道P'=>Q'(否定)必為假, 然後Q=>P(逆)也為假

然後否逆命題Q'=>P'就會恆真, 因為雙重否定

但這件事是不是必須先確定Q=>P一定是假才行阿?

也就是說

我們必須先確定只有P=>Q, 而不是P<=>Q

不然如果P<=>Q的話上述的否定命題跟逆命題就也必為真了

而且這邊也產生了一件很奇怪的事

如果P<=>Q的話, 經過一次否定或一次逆竟然真值不變?

然後再進一步來說

以往我們常用的反證法是不是就用的太魯莽了呢?

試證P=>Q為真

然後我們毫不猶豫的就從P'=>Q'為假這個角度去證

那如果事實上P<=>Q呢?

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→ mantour     : P->Q為真, 則Q'->P'也為真, 與P'->Q'的真假無關吧
→ judgment    : 應該說這2件事是邏輯等價的
→ judgment    : 利用邏輯上的 P=>Q ≡ ~P V Q 這件事可以簡單驗證
推 Vulpix      : 你第三行那兩個敘述都不必為假啊。
→ judgment    : 而 P <==>Q ≡ ( P=>Q ^ Q =>P) ，看真值表就跟上
→ judgment    : 就不一樣了
推 Vulpix      : 反證法是 Q'→P'。
→ hwanger     : 原PO最大的誤解在於認為P→Q的否定敘述Q'→P'
→ hwanger     : (By completeness theorem)我們算一下(P→Q)'和
→ hwanger     : Q'→P'的真值表就可以發現他們不等價了
→ hwanger     : 另外不是很重要的一點 為了證P→Q而去證Q'→P'並不
→ hwanger     : 是反證法 而是proof by contraposition 反證法是指
→ hwanger     : "由P推得R和非R 故非P"
推 Vulpix      : 咦，這是歸謬吧？實做通常是從Q'推得R和R'這樣？
推 LPH66       : 應該說是 (PΛQ')→(RΛR') 故 ~(PΛQ') 即 P→Q
→ LPH66       : Q'→P' 可以是上式的一種狀況
→ hwanger     : "P→Q和Q'→P'等價"不是反證法的特例 只是在某些邏
→ hwanger     : 輯體系下 我們可能可以用反證法證明他們等價
→ hwanger     : 反證法(Proof by contradiction)是歸謬法(reductio
→ hwanger     : ad absurdum)的在數學中的形式 歸謬法是一種論證方
→ hwanger     : 式 但不限於數學中
→ hwanger     : 反證法的依據 在古典邏輯中是依賴於無矛盾律和排中
→ hwanger     : 律 (跟爆炸原理也有關係) 在形式邏輯中 則是 P 和
→ hwanger     : P'→⊥等價 或者在實作中 P→Q 和(P and Q')→⊥是
→ hwanger     : 等價的
→ hwanger     : Proof by contraposition的依據 不管是在古典或形式
→ hwanger     : 邏輯中 都是the law of contraposition (任何的
→ hwanger     : conditional statement都和他的contrapostion等價
→ hwanger     : 即P→Q 和 Q'→P'是等價的)
→ hwanger     : 不應該因P→Q, (P and Q')→⊥和Q'→P'在某些邏輯體
→ hwanger     : 系下是等價的 就誤以為這三者是同一件事 至少在字串
→ hwanger     : 上就已經不是同一回事了
推 Vulpix      : 所以數學中歸謬和反證是同一件事囉？以前從沒分清楚
→ Vulpix      : 過:p  畢竟太少去區分邏輯之間的異同了。