[線代] 左右逆矩陣相等的證明

[NTUmaki (西木野真姬)]

想請問我的證明有沒有誤（感覺有錯@@ 但不知道問題在哪）

Given A:m*n , B C :n*m. BA=I_n, AC=I_m
prove that B=C

pf:

BA=I_n
BAC=I_nC
BI_m=I_nC
B=C
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.10.9.95 (臺灣)
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→ Poincare    : 你覺得哪裡有錯
因為證明實在太短...所以我才覺得有錯qq 還是真的就這麼簡單？
※ 編輯: NTUmaki (39.10.9.95 臺灣), 10/17/2020 15:35:49
→ NTUmaki     : 我是怕有什麼特殊的情況沒考慮到@@
→ hwanger     : 證明沒錯 你感覺有錯也是對的 因為若m>n(反之亦然)
→ hwanger     : AC的rank最多是n 不可能乘出I_m 也就是A的右逆元素
→ hwanger     : 一開始就不存在 (若p則q p錯 則命題恆真)
→ hwanger     : 而你的證明 是m=n時 標準的代數作法
→ hwanger     : 現在比較怕的是邏輯誤用 也就是 "A:m*n , B C D :n*
→ hwanger     : m. DA=BA=I_n, AC=I_m implies that D=C=B" 純粹是
→ hwanger     : 邏輯形式上真的  你卻推到"給定矩陣的左逆矩陣是唯
→ hwanger     : 一的"這個結論
→ NTUmaki     : 了解.. 因為我知道方陣的逆矩陣唯一這個定理 但是他
→ NTUmaki     : 給的非方陣 才感覺這樣證會在某個地方出錯
→ NTUmaki     : 也就是說我必須說明他是方陣 才能這樣導？
→ hwanger     : 不管是不是方陣都可以這樣導 整句的敘述是 "如果存
→ hwanger     : 在原文所述的A,B,C 則B=C" 現在的情況是當m=n時 證
→ hwanger     : 明就是你的證明 當m不等於n時 整個證明就變成
→ hwanger     : vacuous proof (也就是前提已經不成立了 你要推什麼
→ hwanger     : 都沒關係)
→ hwanger     : 更簡單的說 原本的問題是問"如果存在 就怎樣" 只不
→ hwanger     : 過我們用了上帝視角 提前知道某些情況下一定不存在
推 LPH66       : 這樣說吧: 你在擔心「非方陣怎麼辦」, 但題設條件
→ LPH66       : 能推得 m=n (由上面提到的 rank 論證)
→ LPH66       : 只是你這證法不需要用到 m=n 這個推論而已