[中學] 同一代數證明題的不同證明方式

[Yenfu35 (廣平君)]

我所屬的高中校友FB群組有學長分享了距今30多年前的數學考卷。
由某個選擇題的選項可知，n為自然數時「2的3n次方減1」恆為7的倍數。
我在證明時想到兩種證法。

第一種是數學歸納法：
令f(x) = (2^3x)-1、且x為自然數，
先證明f(1)是7的倍數，
然後設f(k)是7的倍數、據以證明f(k+1)、f(k+2)也都是7的倍數，
因此得證。

後來又想到第二種證法，是綜合使用指數律及多項式法則：
(2^3x)-1 = [(2^3)^x]-1 = (8^x)-1
已知n為自然數時多項式(a^n)-1恆有因式a-1，
故a=8時(8^x)-1恆有因式 8-1 = 7，
因此得證。

我知道數學歸納法很穩、不會有什麼問題，
但是不確定第二種方法會不會有問題、特別是嚴謹性的問題；
而我高中已畢業快20年、已經無人可問，故在此請問。
謝謝。

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推 LPH66       : 沒什麼問題: 整係數多項式的因式關係代入整數值
→ LPH66       : 是能夠轉成整數間的因數關係的
→ LPH66       : 其理由是原本的因式關係只涉及整係數
→ LPH66       : 代入之後不只所求的兩數, 連商數也是整數
→ LPH66       : 這個整商就代表了得出來的整數之間有因數關係
→ LPH66       : 以你的例子來說, 例如 a^4-1 = (a-1)(a^3+a^2+a+1)
→ LPH66       : 代入 a=8 得 8^4-1 = (8-1)*(8^3+8^2+8+1)
→ LPH66       : 右邊括號內為整數說明了 8^4-1 有因數 8-1=7