證明convex hull的另一種表示法是相等的

[jr80939393 (jr80939393)]

如圖片，我想證明一個affine dimension為p的集合C(包含多於p+1個點) ，其convex hull一定可以表示為其任意p+1個點的convex hull聯集。
用集合的包含性質或是數學歸納法(p+k個點可以表示成p+1個點的convex hull 聯集)，都沒辦法把證明寫的很完整，希望板上的高手給我一點提示，謝謝大家。
https://i.imgur.com/AJZQS8m.jpg
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→ hwanger     : induction on p, p是1時顯然 對於一般p 先考慮Q1,Q2
→ hwanger     : Q3,...,Qp,Q{p+1},Q{p+2}所形成的convex hull
→ hwanger     : 若其中Q1,Q2,...,Q{p+1}的convex hull C'是p-1維的
→ hwanger     : 這裡要注意到的是對所有p在C中 p都會在Q{p+2}和p'的
→ hwanger     : 線段上 for some p' in C' (觀察p=ΣciQi就知道了)
→ hwanger     : by induction hypothesis 這個case ok
→ hwanger     : 接下來假設對任意p+1個點 都不會落在p-1維的
→ hwanger     : hyperplane上 則{Q1,...,Q{p-1},Qp},
→ hwanger     : {Q1,...,Q{p-1},Q{p+1}}, {Q1,...,Q{p-1},Q{p+2}}會
→ hwanger     : 形成三個不同的hyperplane 故至少其中一個hyperplan
→ hwanger     : 會分隔剩餘兩點(這裡需要用線代證明 有些複雜) 就假
→ hwanger     : 設Q{p+1}和Q{p+2}在{Q1,...,Q{p-1},Qp}所形成的平面
→ hwanger     : 異側 則存在0<=d1,d2<=1使得d1+d2=1,d1Q{p+1}+d2Q2
→ hwanger     : 平面上 令C'為Q1,...,Q{p-1},Qp,d1Q{p+1}+d2Q{p+2}
→ hwanger     : 所形成的convex hull 則可以證明對所有p在C中 都存
→ hwanger     : 在p'在C'中使得 p要嘛在p'Q{p+1}上 要嘛在p'Q{p+2}
→ hwanger     : (同樣討論p=ΣciQi就可以了 不過情況更複雜)
→ hwanger     : by induction hypothesis 這個case就結束了
→ hwanger     : 現在考慮p=c1Q1+c2Q2+...+cpQp+c{p+1}Q{p+1}+
→ hwanger     : c{p+2}Q{p+2}+dQ{p+3}=(1-d)*[(c1/(1-d))*Q1+...+
→ hwanger     : (c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}]+dQ{p+3} 其中(c1/(1-d))*Q1
→ hwanger     : +...+(c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}可以縮減成p+1個 所以整
→ hwanger     : 個式子可以再縮減成p+2項 然後再縮一次即可
→ hwanger     : 很多細節沒寫 覺得哪有問題再補上 抱歉
→ TimcApple   : (Lem) dim = p, given |C| >= p+2
→ TimcApple   : There exists a hyperplane E=0 (of dim p-1)
→ TimcApple   : (1) Either every pt of C is on E=0, or
→ TimcApple   : (2) E contains at least p pts of C
→ TimcApple   : and both (C cap E>0) and (C cap E<0)
→ TimcApple   : is nonempty
→ TimcApple   : 如果這個 Lemma 是對的話
→ TimcApple   : 一個簡單的 strong induction 就能做完
→ TimcApple   : 反正切兩半就好
→ TimcApple   : 但是這個 Lemma 我不會證 我也不保證是對的XD
→ jr80939393  : 謝謝h大每次用心的回覆，大致上理解！
→ jr80939393  : 謝謝T大提供的lemma，我會想想看的
→ hwanger     : T大的定理是對的 基本上[13:37]和[13:51]的論證 不
→ hwanger     : 過接下來的induction會有點坎 例如考慮三角形ABC及
→ hwanger     : 其內部一點D 令E為AD連線 接著會有點小困難 冏
→ hwanger     : 不過如果能證所有的點都可以由邊界的點組合出來的話
→ hwanger     : 應該就能順利搭配T大Lemma做inducition
→ jr80939393  : 好的 謝謝h大
→ TimcApple   : 嗯 這樣我的證明是錯的ow o
→ TimcApple   : 要多一個前提是 every point of C
→ TimcApple   : is on the boundary of convex hull
→ TimcApple   : 不過這可以簡單地用砍掉所有內部點得到
→ TimcApple   : 好像還是錯
→ TimcApple   : 必須要 every points of C are vertex
→ TimcApple   : 怎麼感覺越來越麻煩了=A= 算了落跑XD