[線代] QR分解

[NTUmaki (西木野真姬)]

https://i.imgur.com/dfKLBJs.jpg
想問這題是不是有錯

QR分解的R應該要可逆？


另外請教

QR分解的等價條件是不是一定要行獨立？

因為有看到說QR可以推廣到任意矩陣都能分解

不確定要用哪種定義（目前翻原文書都是寫 R一定要可逆，而且Q是行正交，這樣A一定是

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.247.231.108 (臺灣)
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※ 編輯: NTUmaki (27.247.231.108 臺灣), 10/21/2020 20:58:08
→ Ricestone   : 因為有所謂胖QR分解跟瘦QR分解，兩者定義不同
→ Ricestone   : 然後這題並沒有提到這個QR就是QR分解的QR
那應該怎麼判斷題目的QR是不是QR分解呢？ 是必須提到 QR decomposed 這個名詞嗎
→ Ricestone   : 如果要是QR分解的R，那麼題目就得定義R可逆
※ 編輯: NTUmaki (27.247.231.108 臺灣), 10/21/2020 21:07:47
→ Ricestone   : 有提到那就沒問題，但這題就單純定義不一樣（不夠）
→ Ricestone   : 這邊還是有一個盲點就是說R主對角線要正，這就是
→ Ricestone   : 瘦QR分解的定義，這種分解是唯一的
→ NTUmaki     : 原來如此QQ 翻了兩本原文書都沒看到更詳細的定義
→ Ricestone   : 英文維基有寫到thin QR decomposition
→ Ricestone   : 線代啟示錄裡面也有
→ hwanger     : 不是很重要 不過如果依英文wiki的定義 題中的QR就是
→ hwanger     : QR decomposition 並且QR分解有可能不唯一 如下圖
→ hwanger     : https://imgur.com/Mm4zjvb
→ hwanger     : 不過一般的定義是會要求A的column vector是獨立的(
→ hwanger     : 所以A是瘦的) 此時如果要求R的對角線是正的 我們才
→ hwanger     : 會有QR分解是唯一的
→ hwanger     : 如R大所述 這邊定義很亂 不過一般還是希望A的column
→ hwanger     : vector是獨立的 所以不太確定是否真的有人特別討論
→ hwanger     : 胖的情況
→ hwanger     : 依英文wiki定義 瘦分解是指對瘦矩陣做QR分解 僅在A
→ hwanger     : 是full rank並且R的對角線是正的情況下 分解才唯一
→ hwanger     : 昨天有點混亂 不過英文wiki其實就蠻清楚了
→ hwanger     : 先考慮方陣A 我們把A=QR Q是unitary R是上三角 都叫
→ hwanger     : QR分解 不過在這個情形下就會像LU分解一樣 造成分解
→ hwanger     : 可能不唯一 加上為了能夠順利施作Gram–Schmidt 大
→ hwanger     : 部份的作者就會直接假設A的column vectors是獨立的
→ hwanger     : 所以才會得到如文中所述 QR分解需要行獨立且R可逆
→ hwanger     : 但是Gram–Schmidt的施作只需要獨立的向量 並不需要
→ hwanger     : 基底 所以才有好像推廣到一般矩陣的感覺 但實際上
→ hwanger     : 為了讓column vector獨立 你必須要求瘦矩陣才行