Re: [中學]請教競賽試題

[tyz (秋星夜雨)]

: 3.設n為自然數,且n^2+2019n為完全平方數,求n的最大值?

V大提醒後較簡易作法

設n^2+2019n=k^2  k為自然數

配方後成為(2n+2k+2019)(2n-2k+2019)=2019^2

則
1.  2n+2k+2019=3^2*673^2  2n-2k+2019=1   =>n=1018081
2.  2n+2k+2019=3*673^2    2n-2k+2019=3   =>n=338688
3.  2n+2k+2019=673^2      2n-2k+2019=3^2 =>n=112225
4.  2n+2k+2019=3^2*673    2n-2k+2019=673 =>n=673

n最大值為1018081

感謝V大指點


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設n^2+2019n=k^2  k為自然數
將其視為n的一元二次方程式
則其判別式為為完全平方數
設D^2=2019^2+4k^2
則2019 2k D為直角三角形的三邊
由畢氏三元數生成公式可知
https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38209
公式1:k=1019090
公式2:不合
公式3:k=113230
k最大值為1019090
n最大值為1018081

只是自己的一點想法
不保證正確
原因在於我無法判斷含有2019的畢氏三元數是否只有這兩組QQ


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推 Vulpix      : 分解成(2n+2k+2019)(2n-2k+2019)=2019^2就能討論了
→ tyz         : 阿  對吼   配方後討論較簡單
→ tyz         : 而且V大提醒後我才注意到 我上面打的是k值 而非n值
→ tyz         : QQ
※ 編輯: tyz (175.181.145.170 臺灣), 10/21/2020 22:31:51
推 apom0228    : 感謝指點