→ hwanger : 關於第2點 將bump function建在一個不陡的斜坡上(例10/23 00:59
→ hwanger : 如加上g(x,y)=arctan(x)) 使得bump function的山頭10/23 01:00
→ hwanger : 高於斜坡就好了10/23 01:01
感恩 我試試看 看邊界處是否光滑
推 Vulpix : 一定要延拓到整個R^2嗎？不然10/23 01:43
→ Vulpix : x=√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2)) 應該可以。10/23 01:44
最初會想限制R^2是因為不想要定義域是有界 當然R^2少了一個點也是無界的 只是考慮到
有些函數可能在R^2有Liouville性質 所以乾脆限制在R^2當作最廣的反例
→ hwanger : 如果將V大的函數乘於exp(-1/(x^2+y^2))應該就能包含10/23 02:25
→ hwanger : 原點了10/23 02:25
cut-off函數真的很好用XD 最初不想用分段函數去接就是還要處理邊界光滑性
我再微微看0點是否光滑 謝謝
推 Vulpix : 糟糕XD這個函數是y的偶函數，會增根……10/23 06:18
增根會怎樣嗎 晚點畫畫看 謝嚕
→ hwanger : V大的問題應該可以用變形V大的解法解決 考慮f(x,y)= 10/23 10:51
→ hwanger : {x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))}^2 + {y- 10/23 10:53
→ hwanger : √(x^2+y^2)*sin(ln√(x^2+y^2))}^210/23 10:54
→ hwanger : [10/23 01:01] ??? C^∞是線性空間 相加自然是C^∞10/23 10:57
→ hwanger : [10/23 02:25]所以原PO本來是不希望用到條件函數是10/23 11:00
→ hwanger : 嗎? 可是bump function就是條件函數 冏 10/23 11:01
→ hwanger : 而且如果只想用基礎函數去湊出來而不分條件 基本上 10/23 11:04
→ hwanger : 就是想找一個解析函數 而不僅僅只是光滑函數 但10/23 11:07
→ hwanger : (0,0)偏偏是zero set的極限點 雖然不是很確定 不過 10/23 11:09
→ hwanger : 我感覺應該不太可能10/23 11:11
→ hwanger : [10/23 01:44]"...在R^2有Liouville性質" 不是很懂10/23 11:20
→ hwanger : 原PO在顧慮什麼特別的東西 harmonic, comformal10/23 11:22
→ hwanger : mapping, antiderivatives? 不過都跟原問題無關(?) 10/23 11:24
推 Vulpix : 感覺他可能真的是比較關注調和函數。10/23 11:36
不好意思沒打的很清楚, 我重敘述一次: (U是R^2子集合)
(1) 最初想找f:U->R然後同時存在有界與無界的level set, 而f如果沒給連續性的話很容
易刻意造, 因此加入光滑這個條件
(2) U如果有界的話那所有level set都是有界的, 所以乾脆考慮最廣的例子R^2, 而我會
提到Liouville是因為之前學調和函數時很容易差一個點就導致函數整體變成常數, 所以
當V大提出U=R^2-{(0,0)}的反例時我就表達一下為什麼我想要整個R^2的原因, 不過不重
要就是了XD
(3) 我說最初不考慮分段函數是因為我還要證明接點是光滑有點麻煩, 卻忘記有bump fun
ction這個標準例子幫你接好了, 可惜的是這個例子的無界level set並不是level curve,
晚上我再check h大用bump function加上arctan的想法
(4) 目前確實跟conformal, harmonic這些無關, 純粹是對於以前看到那麼多level curve
的形狀都很規律(全有界或全無界)才想說有無同時有界與無界的反例
(5) V大你最初那個"x=√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))"是指"f(x,y)=√(x^2+y^2)*cos
(ln√(x^2+y^2)-x"嗎? 即便不考慮原點, 我畫f(x,y)=p圖後對
於每個p的level set都是無界的耶
(6) 最後問一下h, V大你們是怎麼想這些造法的? 我都覺得我在亂湊XDDD
→ hwanger : V大的答案是回答你原文章內第一個問題 不是第二個10/23 16:08
→ hwanger : 冏 然後你提到調和函數很容易變成常數函數 這是你已 10/23 16:11
→ hwanger : 經提前要求Δf=0 可是大部份的光滑函數都不是調和函10/23 16:13
→ hwanger : 數 冏 你check bump function加上arctan時 記得將10/23 16:15
→ hwanger : bump function乘上一個夠大的數 以確保山頭超過 10/23 16:17
→ hwanger : arctan的高度 10/23 16:18
→ hwanger : 我第一個答案就是湊出來的 純粹就是為了逃避convex 10/23 16:24
→ hwanger : 然後我上面提到 你的原文章內的第一個問題 "要湊一10/23 16:28
→ hwanger : 個解析函數"是不可能的 這是可以證的 就假設有一個10/23 16:29
→ hwanger : 這樣的f(x,y)定義在R^2好了 那f(x,mx)和f(0,y)都會 10/23 16:31
→ hwanger : 是解析函數 並且零根的集合是有limit point的 故全 10/23 16:32
→ hwanger : 部為010/23 16:34
謝謝h大回覆, 我晚上整理與畫圖後統整如下, 再請h大V大幫忙check一下:
1. 原題(2)的level curve例子確實用bump function加上任何一個有高度上限的光滑
函數g(x)都可以令 f(x,y) = p*bump(x,y) + g(x), where p*e^(-1) > sup|g|
而g(x)=arctan(x)就是你造的例子
只是確實要寫出證明有點困難XDD 因為很難寫出顯式 不過目前畫圖覺得對就先對了
2. 原題(1)的例子在原始V大的例子 f(x,y) = x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))
在考慮f(x,y)=0時確實快接近了, 就差y增根跟原點光滑性, 其中y增根可以用
{x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))}^2 + {y-√(x^2+y^2)*sin(ln√(x^2+y^2))}^2
來解決, 而原點問題可以藉由乘上e^(-1/(x^2+y^2))解決
3. V大想出原題(2)的函數是否就是去解 x = cos(t)e^(-t), y = sin(t)e^(-t)
然後再去把t全部消掉(平方和blabla)? 如果不是的話是怎麼想到的呢?
4. 關於原題(1), 若有一個解析函數f:R^2→R在r(t)上恆為0, 那確實藉由考慮f(x,mx)
亦為解析函數的情況下, 會有f(x,mx)=0 for all m,x, 那就推得f恆為0
而此處用到的兩個性質為:
(a) 單變數解析函數若在開連通的定義域中有0聚點那就會導致整體為0
(雙變數以上就沒有這性質, 不然有level curve的解析函數就全掛了)
(b) 若f(x,y)為雙變數解析函數 則f(x,mx)為單變數解析函數
謝謝回答~
※ 編輯: znmkhxrw (123.110.132.77 臺灣), 10/24/2020 01:58:47
→ hwanger : 1.>>>只需在我們關心的等高線上用隱函數定理證明它 10/24 10:06
→ hwanger : 的確是一維的就行了10/24 10:07
→ hwanger : 2.>>>還是要嚴格證一下在原點的光滑性 10/24 10:09
→ hwanger : 4.>>>差不多就這樣10/24 10:13
推 Vulpix : 3.>>>就是消去t。 10/24 11:18
以上謝謝回答~感恩^^
另外最後一個問題是h大回的第一點, 我想問的證明是同時存在"有界跟無界"的level cur
ve(是1維curve就如同你說的用隱函數證), 在還沒加斜坡時的原始bump function可以很
好寫出各level set的顯式而去說明他有界與無界, 但是加上斜坡時整個函數歪掉了, 高
於斜坡的level set也是變成一個歪圓, 不知道有甚麼方法可是繞過寫出顯式證明有無界
性質, 謝謝!
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.42.48 臺灣), 10/24/2020 13:07:21
→ hwanger : 假設bump funciton高於50好了 則20的等高線只會發生10/24 15:43
→ hwanger : 原本bump funciton非零的地方 故有界10/24 15:45
→ hwanger : 而arctan(-100)的等高線圖和bump function無關 就是10/24 15:47
→ hwanger : 一條直線10/24 15:48
了解了!! 謝謝~
※ 編輯: znmkhxrw (42.72.12.234 臺灣), 10/25/2020 13:32:45