→ hwanger : 數學歸納法是關於無限的定理 對他不信任是正常的 10/27 11:00
推 Ciolos : 蓋金字塔的問題是，你要先定義清楚什麼叫做金字塔， 10/27 11:00
→ Ciolos : 五粒沙疊成類似四面體的形狀可以是金字塔嗎？沒有明 10/27 11:00
→ Ciolos : 確金字塔的定義，你要怎麼證明k+1粒沙蓋不成？ 10/27 11:00
→ hwanger : 但使用數學歸納法時你永遠要確保兩件事 第一件事是 10/27 11:01
→ hwanger : 起點是存在的 第二件事是鏈鎖是一定會發生的 10/27 11:02
→ hwanger : 關於蓋金字塔 你並沒有保證鏈鎖一定會發生 也就是 10/27 11:02
→ Ciolos : 另外你看到數列都是2，不知道前項，所以你沒有起始 10/27 11:03
→ Ciolos : 條件（或者起始條件只能從2開始），另外你也沒辦法 10/27 11:03
→ Ciolos : 證明2的下一項一定是2，所以數學歸納法本來就沒辦法 10/27 11:03
→ Ciolos : 用在這個問題上。 10/27 11:03
→ hwanger : 你沒有正當的理由說明P(k)發生時 P(k+1)是無法發生 10/27 11:03
說到這個 其實馬的題目也能這樣證吧 但不知道為什麼 看大家的解法都是用無法重疊去破解
→ hwanger : 或一定發生的 10/27 11:04
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:05:28
→ hwanger : 看到一個數列前頭都是2 你沒有任何理由保證鏈鎖一定 10/27 11:06
→ hwanger : 會發生 自然就不知道下一個是什麼 10/27 11:07
→ hwanger : 馬的題目是什麼?? 10/27 11:08
任n匹馬具相同顏色
n=1成立
設n＝k成立
考慮n=k+1
然後就會講到overlap、重疊之類的
→ hwanger : 另外郵票題目是可以3x+5y=n n>=8 一定有正整數解去 10/27 11:11
→ hwanger : 看的 用數論的方法就能解釋 雖然文中數學歸納法是正 10/27 11:12
→ hwanger : 確的 但如果你不放心 你可以用其他方法證 10/27 11:13
可是關於最後一步驟 如果今天題目寫1，2，3，4以外皆可由5元郵票組成 那最後一步驟時寫一個k-5可組成k就成了?
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:14:34
→ hwanger : 喔喔 我知道馬的問題了 馬的問題是在你沒有確保鏈鎖 10/27 11:15
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:16:21
→ hwanger : 一定發生 也就是P(k) implies P(k+1)這件事對所有的 10/27 11:16
→ hwanger : k都會成立 因為論述中不能適用在k=1的情況 10/27 11:17
→ hwanger : 我不太懂overlap是指什麼 馬的問題缺失是在P(1)推不 10/27 11:19
「因為在證兩匹馬時，前半後半個1，沒有overlap」只有在n大於等於3時有overlap之情形，所以無法用p(1)來證得p(2)
→ hwanger : 到P(2) 10/27 11:19
→ hwanger : "可是關於最後一步驟...">>>可是你沒有確保起點存在 10/27 11:20
→ hwanger : 呀 數學歸納法中"起點存在"和"鏈鎖一定發生"是同樣 10/27 11:21
所以我才會想起點的狀況要列到什麼程度才夠
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:21:56
→ hwanger : 重要的 有些書寫證明會省略這個或那個 是因為有時他 10/27 11:22
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:23:15
→ hwanger : 是顯然的 不是因為他不用check 10/27 11:23
→ hwanger : 例到最小的k-3或k-5會存在就好了 10/27 11:25
→ hwanger : 如果真的無法理解 那就列8,9,10 然後分別考慮3k, 10/27 11:28
→ hwanger : 3k+1,3k+2的情況就好了 不用特別去想k-3或k-5 10/27 11:29
→ hwanger : 也就是一次證三個數學歸納法 10/27 11:30
→ hwanger : Ok 我可能懂你的問題在哪了 你列的東西並沒有保證 10/27 11:33
→ hwanger : k>=11時 k-5一定會發生 但其實k-5這條是多餘的 考慮 10/27 11:34
推 TimcApple : 你以為骨牌排好就會連倒 結果沒有 10/27 11:36
→ hwanger : k-3就好了 而比較嚴謹的證明就如上所述 你要分別在 10/27 11:36
推 Ciolos : 馬的問題那個錯誤證明是「假設n匹馬顏色相同，那1,2 10/27 11:36
→ Ciolos : ,...,n號馬顏色相同，又2,3,...,n+1號馬顏色相同， 10/27 11:36
→ Ciolos : 所以1,2,...,n+1號馬顏色都相同，問題是你只能假設 10/27 11:36
→ Ciolos : 某n匹馬顏色(A色）一樣，另一群n匹馬顏色（B色）一 10/27 11:36
→ Ciolos : 樣，但這n匹和那n匹不一定會有重複的馬」 10/27 11:36
關於這敘述我最不能理解的是怎麼跑到2,3,...,n+1號馬顏色相同上去的
→ TimcApple : 這不是物理的錯 是排骨牌的人手殘ow o 10/27 11:36
→ hwanger : 除3餘1 除3餘2 除3餘0的cases上各自作數學歸納法 10/27 11:37
我了解書上為何要省略了，太佔空間啦
→ hwanger : ??? 馬的問題 "P(n) implies P(n+1)"n大於1時是對的 10/27 11:41
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:41:47
※ 編輯: fragmentwing (111.71.214.119 臺灣), 10/27/2020 11:43:26
→ hwanger : 他的論證也沒問題 可是數學歸納法是要求"P(n) 10/27 11:42
→ hwanger : implies P(n+1) for all n" 數學有很多定理 條件差 10/27 11:43
→ hwanger : 一點點 結論就會錯了 10/27 11:43
→ hwanger : 用T大的比喻就是 你骨牌在台灣排好了 但你起點卻在 10/27 11:48
→ hwanger : 美國 10/27 11:48
→ hwanger : "關於這敘述我最不能理解...">>>因為P(n)的敘述是對 10/27 11:50
→ hwanger : 於任意n隻馬 其顏色都相同 10/27 11:51
→ hwanger : 那你現在假設P(n)是對的 所以1,2,...,n是"任意n隻馬 10/27 11:52
→ hwanger : 2,3,...,n+1也是任意n隻馬 所以1和2同顏色 2和n+1也 10/27 11:53
→ hwanger : 同顏色 你會覺得奇怪 是因為你一開始就知道P(n)不可 10/27 11:54
→ hwanger : 能是對的 但在implication中 前項恆錯 敘述恆真 10/27 11:56
→ hwanger : 深究一下金字塔問題 其謬誤在於你假設前k粒因為建不 10/27 12:01
→ hwanger : 起金字塔 所以就不重要了 再加一粒不重要的 所以還 10/27 12:01
→ hwanger : 是不重要 但假設你今天走路 你一步跨不出一百公尺 10/27 12:03
→ hwanger : 你接下來每步都跨不出一百公尺 所以你走不到一百公 10/27 12:04
→ hwanger : 尺? 10/27 12:04
→ Ciolos : 因為他把某n匹馬顏色相同偷換概念成任n匹馬顏色相同 10/27 12:10
→ Ciolos : ，你不能理解是因為那是錯的 10/27 12:10
→ hwanger : 馬的題目本來就是要證任意n匹馬 顏色都相同 數學中 10/27 12:14
→ hwanger : 的題目 本來就是沒有特別講存在 就是for all 10/27 12:14
→ hwanger : 他沒有把概念偷換掉 證明會錯也不是因為什麼概念被 10/27 12:16
→ hwanger : 偷換的關係 純粹就是因為P(1)無法用他想用的論證推 10/27 12:17
→ hwanger : 到P(2) 10/27 12:17
→ hwanger : "if n>1, P(n) infers P(n+1)"原本要作的論證是形式 10/27 12:18
→ hwanger : 上對的 但其意義是違反直覺的 10/27 12:19
推 TimcApple : 馬的題目 數歸的證明在 n > 1 的時候都會對 10/27 13:07
→ TimcApple : 如果題目改成「若任兩匹馬顏色一樣 10/27 13:08
→ TimcApple : 則所有馬顏色一樣」這樣用數歸證就不會錯 10/27 13:08
→ TimcApple : 畢竟起點是 2 不是 1 了 10/27 13:08
→ TimcApple : 也沒有什麼違反直覺的地方 10/27 13:08
→ TimcApple : 原本的問題 完全就只錯在 P(1) 到 P(2) 10/27 13:10
→ TimcApple : 然而一步錯步步錯 證出了鬼扯的結果而已 10/27 13:10
→ hwanger : 違反直覺的地方是指為什麼要假設P(n)(意即前提已經 10/27 13:21
→ hwanger : 錯了 為何要再證P(n)→P(n+1) 而不是說"n>1 P(n)→ 10/27 13:23
→ hwanger : P(n+1)"這件事是對的違反直覺的 至於把起點改為2 也 10/27 13:25
→ hwanger : 是不能用數學歸納法 因為沒有保證起點是對的 10/27 13:26
→ hwanger : 我誤會了 "若任兩匹馬顏色一樣 則所有馬顏色一樣"已 10/27 14:34
→ hwanger : 經和原本馬問題無關了 實際上也不需要用數學歸納法 10/27 14:35
→ hwanger : 去證明 10/27 14:35
推 LPH66 : 並沒有無關喔, 後一問題是原問題改變 base case 10/27 16:50
→ LPH66 : 後一問題能用原論證證明表示原論證本來就無誤 10/27 16:51
→ LPH66 : 問題完全只在 P(1)→P(2) 無法用原論證證明 10/27 16:51
→ LPH66 : 但就因為這一個無法證明使得結論變為荒謬 10/27 16:52
→ hwanger : 原本問題是"對於任意n匹馬 這n匹馬顏色都相同" 10/27 17:34
→ hwanger : 形式是" for all x1,x2,...xn, Q(x1,x2,...,xn)" 10/27 17:34
→ hwanger : 改過的問題是"對於任意n匹馬 若任意兩兩顏色相同 則 10/27 17:34
→ hwanger : 這n匹馬顏色相同" 10/27 17:34
→ hwanger : 形式是 "for all x1,x2,...,xn, if for all i,j A(x 10/27 17:34
→ hwanger : i,xj), then Q(x1,x2,....,xn)" 10/27 17:34
→ hwanger : 第2個問題只要固定其中一匹馬 大家都跟這匹馬相比即 10/27 17:34
→ hwanger : 可 10/27 17:34
→ hwanger : 就算硬要用數學歸納法證 兩者的induction hypothesi 10/27 17:34
→ hwanger : s也不同 10/27 17:34
→ hwanger : 第一個P(n):對於任意n匹馬 這n匹馬顏色都相同 10/27 17:34
→ hwanger : P(n)推P(n+1):若"任意n匹馬 這n匹馬顏色都相同" 則 10/27 17:34
→ hwanger : "任意n+1匹馬 這n+1匹馬顏色都相同" 10/27 17:34
→ hwanger : 第二個P(n):對於任意n匹馬 若任意兩兩顏色相同 則這 10/27 17:34
→ hwanger : n匹馬顏色相同 10/27 17:34
→ hwanger : P(n)推P(n+1):若"對於任意n匹馬 若任意兩兩顏色相同 10/27 17:34
→ hwanger : 則這n匹馬顏色相同" 則 "對於任意n+1匹馬 若任意 10/27 17:34
→ hwanger : 兩兩顏色相同 則這n+1匹馬顏色相同" 10/27 17:34
→ hwanger : 用到的假設和要證的東西已經不同了 你說用類似的想 10/27 17:34
→ hwanger : 法證ok 但直接用原論證一定是不行的 10/27 17:34
→ hwanger : 最簡單的看法就是 從n+1匹馬選出n匹馬後 在第一個 10/27 17:34
→ hwanger : 情況 這n匹馬就是同顏色的 但在第二個情況 你必須 10/27 17:34
→ hwanger : 先check任意兩兩相同顏色 才能下結論這n匹馬同顏色 10/27 17:34
→ hwanger : 兩者推到選出來的n匹馬同顏色的方式不同 10/27 17:34
→ hwanger : 荒謬的是"對於任意n匹馬 這n匹馬顏色必然相同" 10/27 17:39
→ hwanger : "對於任意n匹馬 若兩兩顏色相同 則這n匹馬顏色必然 10/27 17:39
→ hwanger : 相同"則完全沒問題 10/27 17:39
→ hwanger : 兩個問題形式已經不同 說是相關勉強可以 但並不是 10/27 17:45
→ hwanger : 誰基於誰 我認為無關 就是他們形式上已經無關 前者 10/27 17:45
→ hwanger : 有問題的證明 也沒辦法直接給後者用(實際上也不需要 10/27 17:45
→ hwanger : ) 10/27 17:45