→ hwanger : =============================================== 10/27 22:17
→ hwanger : 我之前的回文: 10/27 22:17
→ hwanger : "if n>1, P(n) infers P(n+1)"原本要作的論證是形式 10/27 22:17
→ hwanger : 上對的 但其意義是違反直覺的 10/27 22:18
→ hwanger : 違反直覺的地方是指為什麼要假設P(n)(意即前提已經 10/27 22:18
→ hwanger : 了 為何要再證P(n)→P(n+1) 而不是說"n>1 P(n)→ 10/27 22:19
→ hwanger : P(n+1)"這件事是對的違反直覺的 10/27 22:19
→ hwanger : =============================================== 10/27 22:20
→ hwanger : 現在宇集是所有的馬 P(2)是在認知中是錯的 是違反直 10/27 22:20
→ hwanger : 覺的 我從沒說P(2)推其他P(n)是錯的 10/27 22:20
→ hwanger : "if n>1, P(n) infers P(n+1)"是對的 而錯的地方是 10/27 22:21
→ hwanger : 在"P(1)→P(2)" 是我在原回文中極力表達的 我不懂你 10/27 22:21
→ hwanger : 為何要再作一次 10/27 22:22
→ hwanger : =============================================== 10/27 22:22
→ hwanger : 我之前的回文: 10/27 22:23
→ hwanger : 至於把起點改為2 也是不能用數學歸納法 因為沒有保 10/27 22:23
→ hwanger : 起點是對的 10/27 22:24
→ hwanger : =============================================== 10/27 22:24
→ hwanger : 原問題的宇集是所有的馬 我不懂為何你可以作 10/27 22:25
→ hwanger : "已知 P(2) 成立"這種假設 如果你要更動宇集成滿足 10/27 22:25
→ hwanger : 個條件當然OK 只是真的跟原問題無關了 宇集不一樣了 10/27 22:26
→ hwanger : 而原問題是問數學歸納法哪裡錯了 10/27 22:26
→ hwanger : 再強調一次 當宇集是所有的馬 P(2)在認知中就是違反 10/27 22:26
→ hwanger : 直覺的 但我在原文中也一再說了 錯的地方不是在P(n) 10/27 22:27
→ hwanger : 違反直覺或"n>1 P(n)→P(n+1)"的論證上 而是P(1)推 10/27 22:27
→ hwanger : 不到P(2) 10/27 22:27
→ hwanger : 不好意思 如果你不想讀我回文的所有前後文 是否能告 10/27 22:33
→ hwanger : 知一下 比如說tl;nr之類的 麻煩你了 抱歉 10/27 22:35
我覺得你從頭到尾一直都糾結在命題 A 當中
命題 B 確實和命題 A 是不同的題目 (就是你說的不同宇集)
引我很久以前回同一件事的推文就是:
※ #1K8ckEa5 (Math)
: → LPH66 : 你可以想像一個平行世界, 那裡任兩隻馬都確實同色 09/25 01:07
: → LPH66 : 這樣根據這個推論我們就能得到那世界的所有馬都同色 09/25 01:08
命題 B 的討論範圍是一個平行世界
但是推論的理由卻除了基礎不同外和命題 A 是一字不差
那這裡會扯命題 B 出來的原因就是: 能夠證出命題 B 的這些個推論是合法的
也就是 P(2)→P(3) P(3)→P(4) 等等這些推論都是對的
而命題 A 的推論只因為多了 P(1)→P(2) 整個論證就出現矛盾了 (推出不成立的事)
因此我們能知道命題 A 這個歸納證法失敗的根本且唯一理由就是 P(1)→P(2) 不成立
====
要說這裡有什麼違反直覺的地方大概也就只有 P(2)→P(3) 了吧
在命題 A 的世界裡因為 P(2) 不成立, 所以 P(2)→P(3) 這個推論是虛空地真
但是這並不表示在 P(2) 成立的命題 B 的世界裡這個推論是否成立
而事實上它成立了: 在命題 B 的世界裡能夠證出所有馬都同色的理由
本質上的核心正是 P(2)→P(3), 不論你用什麼方式證明
所以 P(2)→P(3) 這個在命題 A 的世界裡「違反直覺」的推論其實根本沒違反什麼東西
因為同一個理由在命題 B 的世界裡是很合理也很合邏輯的推論
你因為一直糾結在命題 A 當中所以才會認為這裡有個「違反直覺」的地方
====
再換句話說: 「P(2)→P(3) 成立」跟「P(2) 成立」跟「P(3) 成立」是三碼子事
其中一些成不成立和另外一些成不成立除了由於肯定前件/否定後件導致的推論之外
我們無法對其說些什麼; 特別地, 在命題 A 中第二項不成立無法說明第一項不成立
但在命題 B 中前兩項成立, 故能由肯定前件得到第三項成立
同樣的, 「P(1)→P(2) 成立」跟「P(1) 成立」跟「P(2) 成立」同樣是三碼子事
但因為肯定前件的推論, 在命題 A 中第二項成立與第三項不成立能得到第一項不成立
如此而已
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/28/2020 00:40:50
→ hwanger : 我才覺得你過分地糾結於一定要帶出命題B 10/28 01:45
→ hwanger : 1.我沒有理由特別去看你以前的推文 10/28 01:45
所以我就只是單純把我當時講的話引來用而已
→ hwanger : 2.我們在討論命題A 自然糾結於命題A 那些"在命題A的 10/28 01:46
→ hwanger : 世界是違反直覺但實際上是邏輯形式對的敘述"是一部 10/28 01:47
→ hwanger : 份人誤認歸納法出錯的理由 當然會特別點出來 10/28 01:48
→ hwanger : 3.命題B和命題A既然是不同的題目 那又為何只是為了 10/28 01:49
→ hwanger : 讓某些事在幻想世界是直觀的 硬要帶出另一個命題 違 10/28 01:49
→ hwanger : 反直觀但邏輯是對的事在每個世界比比皆是 為何一定 10/28 01:50
→ hwanger : 要再考慮一個幻想世界 10/28 01:50
你說的沒錯, 一個推論形式上正不正確本就不該和前提相關
所以我舉命題 B 出來的用意僅僅只是要說
「『P(2)→P(3) 成立』根本沒什麼反直覺的」這回事而已
因為如你所說, 最原 PO 的問題就在於這個推論對他來說反直覺因此誤認歸納法有誤
而在我來看, 這「反直覺」的來源是來自於命題 A 中 P(2) 為假造成對推論有所疑慮
那為了打消這個來源, 我才編了這一個命題 B 出來說最原 PO 的問題是在這裡
→ hwanger : 4.就算在幻想世界中 要證P(2)推到P(n)也根本不用歸 10/28 01:51
→ hwanger : 納法 你固定一匹馬 所有的馬都跟這匹馬比就好了 10/28 01:51
是不需要啊, 但因為我的目的就只是要說這些個推論根本就很正常
那是不是在我舉的例子裡就要把要說明的推論寫進去? 不然我舉來做什麼?
→ hwanger : 5."if n>1, P(n) infers P(n+1)"在命題A的世界是對 10/28 01:52
→ hwanger : 的不僅僅只是因為他是vacuously true 如我之前所述 10/28 01:52
→ hwanger : 是因為他的論證基本上就是對的 整個論證僅基於集合 10/28 01:53
→ hwanger : 論的公設上 除非不要集合論 否則這個命題不管在哪個 10/28 01:53
→ hwanger : 世界都是合法的 10/28 01:53
→ hwanger : 6.承上點 P(2)會推P(3) 是因為集合論公設確保了證明 10/28 01:54
→ hwanger : 不是因為突然有了命題B的幻想世界 所以才可能對 但 10/28 01:54
→ hwanger : 將題目包裝後 有些人就認為P(2)推到P(3)是錯的 所以 10/28 01:55
→ hwanger : 才要特別點明這是對的 10/28 01:55
→ hwanger : 7.P,Q,P→Q當然是三碼子事 並且更常遇到的是P→Q恆 10/28 01:57
→ hwanger : 真 不管有沒有model讓P有可能為真 這就是一個很好的 10/28 01:57
→ hwanger : 例子 P(2)永遠會推到P(3) 不管有沒有世界會讓P(2)是 10/28 01:58
→ hwanger : 對的 10/28 01:58
→ hwanger : 8.最後再強調一次"if n>1, P(n) infers P(n+1)"是因 10/28 01:59
→ hwanger : 為他的論證形式上就是真的 根本不需要再創造一個幻 10/28 02:00
→ hwanger : 世界來讓P(n)是合法的 10/28 02:00
→ hwanger : 特地創一個命題B的世界 會讓人誤以為P(2)可以推P(3) 10/28 02:01
→ hwanger : 是因為在某些model下 P(2)是對的 但實際上我們在論 10/28 02:02
→ hwanger : 證時就只是用一些很基本的集合論的東西 跟P(2)到底 10/28 02:03
→ hwanger : 有沒有可能為真一點關係都沒有 10/28 02:04
我是這麼認為啦, 既然問題是在「直不直覺」這種帶有主觀性的觀點上
那究竟要舉出哪些客觀事實才足以說明一件事直不直覺其實就已經很主觀了
你的觀點就是列出這些客觀事實其背後的邏輯推導
而我的觀點則是舉出一個能夠實際應用的實例來說明它本來就沒問題
－－話是這麼說, 但我自己在做數學時的態度本來也就只是依靠邏輯推導
只是這些年來在網路上回答問題的經驗讓我會去猜測發問者的問題有可能是卡在什麼地方
為什麼明明就只是這樣的東西發問者會說這樣不對
再去組織一個回答嘗試去打破發問者的誤區
－－回到這個問題
因此我認為 (再次重述) 這裡的「反直覺」來源是被 P(2) 為假給帶走了
於是為了不讓「P(2) 為假」帶走「直覺」這才提出命題 B 的
實際上我們在討論的這些論題的合法性就如你所說根本不必要扯到命題 B
因為那是能被基本邏輯推論給出保證的
這也是為什麼我提出命題 B 時會用這麼一個奇怪的方式去證明它
因為重點從來就不是命題 B 而是「反直覺」的推論
也就是我其實是為了說明這推論本來就沒問題硬用它來證明命題 B 而已
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/28/2020 02:49:47
最後一大段或許可以這麼簡述:
你覺得沒必要提這些其他東西, 我當然同意, 我自己也覺得這本來就很 OK
但我認為「覺得這不 OK 的人可能在我提這些東西之後能夠承認它 OK」所以我就提了
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/28/2020 03:09:47
→ hwanger : 我們並不別人高等 不需要擅自幫別人決定應該在什麼 10/28 10:06
→ hwanger : 間點懂什麼東西 我們所能做的就是不去誤導人家 10/28 10:06
→ hwanger : 如前所述 違反直覺但邏輯形式上對的東西太多了 這也 10/28 10:07
→ hwanger : 只能說明我們的直覺是錯的 並且我們的直覺本來就經 10/28 10:07
→ hwanger : 出錯 不用特意再造一個幻想世界來說明在其他世界的 10/28 10:07
→ hwanger : 人 這是很直覺的 10/28 10:08
→ hwanger : "P(2)→∀nP(n)"的論證在形式上是對的 是在任意滿足 10/28 10:09
→ hwanger : 集合論的世界都是合法的 特意舉例命題B 並說沒有明 10/28 10:09
→ hwanger : 並沒有說明到這件事 但有極大的可能會誤導別人 10/28 10:10
→ hwanger : "P(2)→∀ nP(n)"之所以會對 是因為存在一個model讓 10/28 10:11
→ hwanger : 這個命題對 甚至還認為這個命題的合法性只侷限在這 10/28 10:13
→ hwanger : 個model中 --- 尤其是那些突然就覺得OK的人 10/28 10:13
→ hwanger : 這又不是什麼選擇公設 需要其他model來判定有可能真 10/28 10:14
→ hwanger : 或有可能偽 既然論證已經是形式上對的 儘快習慣這個 10/28 10:14
→ hwanger : 事實就好了 10/28 10:14
→ hwanger : 就我的經驗而言 那些符合邏輯但反直覺的東西只會困 10/28 10:16
→ hwanger : 擾人一陣子而已 但那些被誤導的觀念則會因為人覺得 10/28 10:17
→ hwanger : 自己懂了 基本上是一輩子都不會再改的 10/28 10:17
→ hwanger : 最後我認為(不是再次重述?)反直覺就反直覺了 邏輯對 10/28 10:19
→ hwanger : 的東西就只能說明直覺錯了 尤其在這個例子中 我們之 10/28 10:21
→ hwanger : 所以認為"若P則Q"是有問題的 純粹只是因為P是不合常 10/28 10:22
→ hwanger : 理的 這種基本的邏輯問題快點習慣就好了 不用再去造 10/28 10:24
→ hwanger : 去造一個會滿足P的幻想世界 10/28 10:27
→ hwanger : [10/28 01:51]"那是不是在我舉的..."無法理解這個問 10/28 10:28
→ hwanger : 題想問什麼或其背後涵義 10/28 10:29
→ hwanger : [10/28 01:50]「『P(2)→P(3) 成立』根本沒...">>> 10/28 10:34
→ hwanger : 我[10/27 22:19]已經說過了 違反直覺的地方根本不是 10/28 10:36
→ hwanger : P(2)推到P(3)這件事 不要弄得好像是我的觀點 10/28 10:37
→ hwanger : [10/28 01:50]"而在我來看, 這「反直覺」的來...">> 10/28 10:39
→ hwanger : 反直覺的來源 我[10/27 22:19]已經說了 不懂為何你 10/28 10:40
→ hwanger : 要再重述 10/28 10:40
→ hwanger : [10/28 01:51]這些推論的正常性是邏輯保證的 不是某 10/28 10:43
→ hwanger : 個幻想世界保證的 10/28 10:43
→ hwanger : 直不直覺既然是主觀的 那我們對於別人的直覺也就不 10/28 10:45
→ hwanger : 需要假設什麼 反正直覺本來就經常出錯 我們可以用邏 10/28 10:46
→ hwanger : 輯修正就好了 10/28 10:47
→ hwanger : 你再次次重述「反直覺」來源是我一開就提的 還是不 10/28 10:49
→ hwanger : 懂既然在這件事上沒有歧義 為何要再次重述 10/28 10:50
→ hwanger : 你之前也說了 P,Q,"若P則Q"是三碼子事 那只需要說明 10/28 10:53
→ hwanger : "若P則Q"這件事並不依賴於P的真偽上即可 為何要硬造 10/28 10:55
→ hwanger : 一個P會滿足的世界 10/28 10:56
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推 chemmachine : 推LPH大奧數資工神人 10/28 12:15
→ hwanger : ??? 不是很懂特地推這個的用意在哪? 和目前在討論的 10/28 13:04
→ hwanger : 事的相關性是? 10/28 13:05
→ hwanger : 另外c大推這種偏個人資料的東西是有經過L大同意? 10/28 13:06
我參加過奧數國手選訓營這件事沒什麼好藏的吧? IMO_Taiwan 版上都有我的文章了
(雖然只在第一階段就被刷下來了而已)
我是資工背景這件事也早就是公開的了 (望向上面被推爆的那篇踩地雷文)
========
→ TimcApple : 怎麼突然冒出一串呃 嗯 抱歉好像是我的錯qw q 10/28 13:12
→ TimcApple : P(2) -> P(3) 這個命題是 T 10/28 13:17
→ TimcApple : 它在 A 命題「違反直覺」是因為 F -> F 10/28 13:17
→ TimcApple : 但在 B 命題是 T -> T, 就很正常了 10/28 13:17
→ TimcApple : P(1) -> P(2) 則是 F 命題, 本來就沒救了 10/28 13:17
→ TimcApple : 嘛我以為習慣了 F -> F 就不叫違反直覺了XD 10/28 13:18
→ TimcApple : A 命題掛掉的原因確實是 P(1) -> P(2) 10/28 13:20
→ TimcApple : 因為只有這句話是 F, 其他句都是 T 10/28 13:20
→ hwanger : 完全形式化問題的確就可以看出破綻 完全沒有所謂直 10/28 14:32
→ hwanger : 不直觀的問題 10/28 14:32
→ hwanger : 但原本馬問題的特殊之處在於"∀n>1(P(n)→P(n+1)" 10/28 14:32
→ hwanger : 不僅僅只是F→F的問題 而是P(n)真的可以邏輯蘊涵P(n 10/28 14:32
→ hwanger : +1) 但很多人會往這個論證中找錯 10/28 14:32
→ hwanger : 並且這個邏輯蘊涵只依賴於公設集合論 是不需要假設 10/28 14:35
→ hwanger : 有model滿足P(n)的 10/28 14:35
OK, 既然都說子非魚安知魚之樂了
我要來 cue 一下最原 PO fragmentwing:
請問你的問題在看過我們所有人的討論之後覺得誰的說法能夠比較讓你接受問題所在?
我的? hwanger 的? TC 的? Ciolos 的?
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/28/2020 15:47:05
→ hwanger : 這又不是什麼數學競賽 你為什麼要人家來評分 況且我 10/28 16:09
→ hwanger : 之所以會回你 是因為你在前篇文章中認為我的說法有 10/28 16:10
→ hwanger : 問題 --- 我認為特意再考慮你的B命題已經是不同的問 10/28 16:12
→ hwanger : 題 --- 但你執意這只是A命題的變形(儘管你後來承認 10/28 16:14
→ hwanger : AB命題就是不同的命題) 整篇回文已經和原po原本對數 10/28 16:16
→ hwanger : 歸有疑問的地方沒有關係了 為何還要人家刻意全部看 10/28 16:17
→ hwanger : 過再來評分 10/28 16:18
→ hwanger : 在我的感覺中 你也沒有特意把我原本全部的推文看完 10/28 16:20
→ hwanger : 要求別人看完不是很奇怪嗎 10/28 16:21
→ hwanger : 至於你的隱私 那是你的主觀 你介不介意都和我無關 10/28 16:24
→ hwanger : 我只是順便提一下 10/28 16:25
→ hwanger : 這世界不是繞著你或我在轉的 整個地球不會因為人類 10/28 16:28
→ hwanger : 滅亡就停止運轉的 10/28 16:28
(1) 沒有逐點回的原因很簡單: 你說的事情我絕大多數都同意
你提的邏輯點本來就是對的, 那些邏輯描述本來就是會得到那些推論合理這結論
我們在這裡是沒有爭議的
(2) 而我們有爭議的點, 就只有我把命題 B 當做命題 A 的變形但你不同意
因此我認為提命題 B 出來有助說明, 但你認為提命題 B 是模糊焦點
那這又回到上面說到的主觀觀點了
－－說到底任何兩個命題到底有沒有類似點這件事本來就很主觀
「類似／變形」的標準究竟在哪裡?
不就只是因為個別思考模式的關係發現命題間有連繫嗎?
那在純邏輯的思考模式下, 經過你羅列出的這許多推演當然能夠找到「證明」的問題
這時候確實是不必然也不需要考慮命題 B 的
那我所做的只不過是嘗試沿著另一條路思考, 然後發現有一部份的思考路線
似乎和命題 B 的其中一種比較不常有人走的路線有相似之處, 所以提了出來, 這樣而已
(3) 我其實對你一直堅持你的思考邏輯並沒有意見－－堅持對的邏輯本來就是好事
我在這裡提的－－容我再次重述一次－－就只是沿著不同的路線去找問題點而已
或者我應該說清楚一點:
我完全同意用你的方式去找問題是沒錯的, 我只是提出一個可能的不同觀點而已
你不接受這個不同觀點也沒關係, 因為最一開始提出來的目的也不是要說明給你聽
那至於說我誤導什麼的, 有沒有被誤導這就還是要目標說話才算數
所以我才會在上面直接 cue 最原 PO 出來看到底我究竟有沒有誤導到他
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/28/2020 17:35:47
→ hwanger : 1.謝謝你有去看我的留言 不過能麻煩你反駁我的回文 10/29 00:50
→ hwanger : 時不要寫的好像我在反駁我原本的觀點 不好意思造成 10/29 00:50
→ hwanger : 你的困擾了 抱歉 10/29 00:50
如果你是說中間 chemmachine 那一段
我是因為那一段和我們之間的討論基本無關才空行隔開的
原意只是要隔開那一段和我們的討論, 卻似乎造成誤會了...
嘛總之這種小事說一下就好沒問題的, 我加了兩條分隔線應該好一點
→ hwanger : 2.我才無法理解為什麼執意要將命題B當作命題A的變 10/29 00:51
→ hwanger : 形 你的理由或許是當兩者在證"P(2)→∀ nP(n)" 其 10/29 00:51
→ hwanger : 白話的證明可以寫的很像 但如果真的把形式化的證明 10/29 00:51
→ hwanger : 寫下來後 就會輕易發現兩者用到的思路根本就不同 10/29 00:51
→ hwanger : 2(a)首先考慮命題S:∀n>1, P(n)→P(n+1) 原本在馬 10/29 00:52
→ hwanger : 問題的論證就是形式上真的 我們本來就有一個基於集 10/29 00:53
→ hwanger : 合論的論證 這跟在哪個世界是無關的 10/29 00:53
→ hwanger : 2(b)在命題A的世界中 要證"P(2)→∀ nP(n)" 如我之 10/29 00:54
→ hwanger : 前所述 就固定一匹馬直接證就好了 如果真的硬要用數 10/29 00:54
→ hwanger : 學歸納法證 那起點也是 "P(2)→P(2)" 而induction 10/29 00:55
→ hwanger : hypothesis是"P(2)→P(n)" 要證的是 10/29 00:55
→ hwanger : "(P(2)→P(n))→(P(2)→P(n+1)) 做完後得到 10/29 00:56
→ hwanger : "∀n(P(2)→P(n))" 再做for all的易位 得到 10/29 00:56
→ hwanger : "P(2)→∀ nP(n)" 途中根本沒有用到S 10/29 00:56
→ hwanger : 一開始我以為你們要做類似這個 因為這個和命題A的宇 10/29 00:57
→ hwanger : 集是相同的 顯然你並不想做這個 10/29 00:57
→ hwanger : 2(c)在命題B中 為了硬用數學歸納法 所以假設了起點 10/29 00:59
→ hwanger : 是P(2) induction hypothesis是P(n) 看起來好像S用 10/29 00:59
→ hwanger : 的很爽 但是卻忽略在數學歸納法中 起點和鏈鎖是同等 10/29 00:59
→ hwanger : 重要的 為什麼P(2)可以是對的 10/29 01:00
→ hwanger : 為了讓P(2)是對的 那P(2)必須是公設之一 或者新增公 10/29 01:01
→ hwanger : 設以推到P(2) 接下來就引發了另一個問題 這些公設是 10/29 01:02
→ hwanger : 一致的嗎 10/29 01:02
→ hwanger : 你當然可以說 反正就加P(2)就好了 不用管有沒有一致 10/29 01:03
→ hwanger : 但當沒有一致時 所有事可以推到所有事 這沒有比原本 10/29 01:03
→ hwanger : 錯的推到錯的還要好 10/29 01:03
→ hwanger : 你或許又會說 只是假設所有的馬顏色都相同 怎麼可能 10/29 01:04
→ hwanger : 不一致 但我第一次看到這個謬論時 P(n)的敘述是 10/29 01:04
→ hwanger : "任意n個正整數都相等" 假設P(2)很明顯跟我們的集合 10/29 01:05
→ hwanger : 論是相悖的 10/29 01:05
→ hwanger : 如果你一開始就是看到這個例子 一定不會跟我說 反正 10/29 01:06
→ hwanger : 就假設有一個世界 任意兩個正整數都相等 10/29 01:06
→ hwanger : 這也是為什麼我覺得命題B根本沒幫到說明S的作用 10/29 01:07
→ hwanger : 我只是把馬問題換成正整數問題 基本上就不會有人嚷 10/29 01:08
→ hwanger : 嚷假想一個任兩個正整數都相等的世界 10/29 01:09
→ hwanger : 3.你或許會想 反正白話的證明都寫得很像 有必要計較 10/29 01:09
→ hwanger : 這麼多嗎 如果是一般在用數歸 我也不會計較 可是我 10/29 01:10
→ hwanger : 們現在就是在質疑數學歸納法 要明白其中的差異 就只 10/29 01:10
→ hwanger : 能形式化的討論 如果連S,A,B三者的差異都看不出來 10/29 01:11
→ hwanger : 又怎麼期待別人不會誤解 10/29 01:11
→ hwanger : 4.我反對的是"概念混淆" 請不要說的好像是我無法接 10/29 01:11
→ hwanger : 受同一件事的不同觀點 因為現在AB是各自在不同件事 10/29 01:12
→ hwanger : 上的各自觀點 我不是認為B在模糊焦點 我就是認為B 10/29 01:12
→ hwanger : 是在混淆概念 10/29 01:12
→ hwanger : 5.你一直認為命題B就只是命題A的變形 就是因為你覺 10/29 01:13
→ hwanger : 得反正可以想像一個馬都同顏色的世界 但如果我們原 10/29 01:14
→ hwanger : 本命題A考慮的集合不是馬的集合呢 如我2(b)所述 如 10/29 01:14
→ hwanger : 果我們考慮正整數集呢 難不成要想像一個任意兩個正 10/29 01:15
→ hwanger : 整數都相同的世界嗎 10/29 01:15
→ hwanger : 這根本就不是不同路線到達同一目的 這就是不同路線 10/29 01:15
→ hwanger : 到達不同目的 10/29 01:16
→ hwanger : 6.如果真的不是在誤導的話 那我真的很想知道 在相同 10/29 01:28
→ hwanger : 的解釋下 考慮"P(n):任意n個正整數是相等的" 是如何 10/29 01:30
→ hwanger : 去假想一個P(2)成立的世界 10/29 01:31
→ hwanger : 如果你硬要說反正是錯的推到錯的 那我們原本的命題S 10/29 01:33
→ hwanger : 就是這樣啊 10/29 01:33
→ hwanger : 而且命題B的論證 因為是用到數學歸納法 所以起點 10/29 01:35
→ hwanger : P(2)是無論如何都要是對的才行 10/29 01:36
→ hwanger : 如你所說 所謂類似的標準的確是主觀認定的 但在數學 10/29 01:43
→ hwanger : 推論中 沒有理由 我只是保留邏輯形式換了對像 原本 10/29 01:45
→ hwanger : 類似的東西就不類似了吧 10/29 01:46
→ wohtp : 把馬的花色換成正整數？ 10/29 03:42
→ wohtp : 兩匹不同的馬可以有相同的花色，但兩個相異正整數絕 10/29 03:42
→ wohtp : 不會相等。 10/29 03:42
→ wohtp : 我覺得現在爭論的點根本不是數學邏輯，而是模型背後 10/29 03:42
→ wohtp : 的代表意義，如果要拿正整數來救援，我覺得是引喻失 10/29 03:42
→ wohtp : 當。 10/29 03:42
→ wohtp : 如果一定要數字不可，關於正整數的命題應該改成「任 10/29 03:45
→ wohtp : 兩個正整數的和為正整數-->任n個正整數的和為正整數 10/29 03:45
→ wohtp : 」這樣比較像到原來的馬的顏色。 10/29 03:45
好, 我們不要用馬跟正整數, 就更抽象一點好了:
給定一個可數集合 U, 以及在其上的一個等價關係 R
P'(n) 表示對任何 U 中大小為 n 的子集, 當中任兩元素都有這個等價關係
(寫成邏輯式子就是:
P'(n) := ∀W⊆U, |W|=n → ∀x,y∈W, R(x,y)
這個樣子)
然後我們提出兩個命題
命題 A': 在上述前提下, 證明對所有自然數 n, P'(n) 成立
命題 B': 在上述前提下, 若還已知 P'(2) 成立, 證明對所有自然數 n, P'(n) 成立
以及對這兩個命題使用數學歸納法的「證明」
我也可以用這個抽象寫出你的命題 S:
命題 S': 對所有自然數 n > 1, P'(n)→P'(n+1)
並且注意到命題 A' 和 B' 的數學歸納法「證明」確實都是在嘗試使用命題 S' 進行歸納
那在考慮這兩個證明的合法性時
命題 A' 因為命題 S' 只有在 n > 1 成立, 因此漏掉了中間的一個鏈子 P(1)→P(2)
所以這個數學歸納法不成立
命題 B' 則沒有問題, 從已知的 P'(2) 開始運用命題 S' 即可推論下去
因此這個數學歸納法成立
那如果我們套上實際的問題
對馬的問題, U 是所有馬的集合, 等價關係 R 是兩隻馬同色
對你的正整數問題, U 是所有正整數的集合, 等價關係 R 是相等
這就成了我們前面一直爭論的命題 A 和命題 B 了
－－我猜你應該會在這裡要我等一下, 說我這個抽象不成立
那我請問: 我們就先不看命題 B'
上面的抽象以及命題 A' 和 S' 在這個抽象裡的敘述
是否和我們所討論出來的「命題 A 為何數歸不成立」是一致的?
就只有把 U 代換成所有馬的集合, 把 R 代換成兩隻馬同色而已
那何以單單多了一個「P'(2) 為真」前提的命題 B' 就無法接受了呢?
如果能接受命題 B', 對命題 B' 進行相同的代換就是命題 B 了啊!
若不是, 它又不是在什麼地方?
我這樣子的抽象和代換究竟混淆了什麼概念?
是所討論的集合 U? 是所討論的等價關係 R? 還是 P'(2) 這個敘述本身?
====
延伸一下 wohtp 提的「模型背後的代表意義」
我是否可以說, 我被指稱「混淆」的
是否就是「U := 正整數 和 R := 相等 代進命題 B' 就會因為代表意義有問題」?
數學上時常有這樣子的討論
有一個符合某些條件形成的集合, 我們不知道集合裡有沒有東西
但我們會去討論集合裡東西會有什麼額外的性質
如果實際上這個集合裡後來真的發現沒有東西
那請問先前討論這個集合裡東西的性質的討論是否也會「因為代表意義」失去價值?
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/29/2020 04:20:34
推 wohtp : 作為物理人，我很想秒答：「無意義，做白工」 10/29 04:22
→ wohtp : 退一百步說，即使我們接受沒有實用性的數學模型仍有 10/29 04:27
→ wohtp : 學術價值，但L大您說的是邏輯上矛盾不可能存在的東 10/29 04:27
→ wohtp : 西吧？討論這個有意義嗎？ 10/29 04:27
推 Vulpix : 不知道到底發生什麼事了。不過「知道這東西無意義」 10/29 05:14
→ Vulpix : 本身也有意義吧。 10/29 05:14
推 Vulpix : 像隔壁物理板上也有人正要體會「絕對時間」無意義。 10/29 05:16
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/29/2020 05:52:12
好的, 那顯然這就是我從一開始就形式化不夠徹底造成的誤會了
我的命題 B 甚至命題 B' 從頭到尾形式上就只是你的 (4) 而不是 (1)
命題 B 和命題 B' 從頭到尾就沒想要證 (1)
(而且本來就證不出來啊, 理由你已經羅列出來了)
我引一下最一開始提起這個命題的 TC 的推文:
: → TimcApple : 如果題目改成「若任兩匹馬顏色一樣 10/27 13:08
: → TimcApple : 則所有馬顏色一樣」這樣用數歸證就不會錯 10/27 13:08
: → TimcApple : 畢竟起點是 2 不是 1 了 10/27 13:08
我們對於命題 B 的討論一直都是有「P(2) 是前提」這件事的
而依你的回應, 產生誤會的點是在於
: 你們寫下來的證明形式化後是 (2) 和 (3)
是啊, 要用數學歸納法證 (4) 當然寫下來是 (2) 和 (3)
只不過 (2) 的理由不是 axiom/theorem 而是 assumption (所以最後變成 (4) 的前件)
你認為我所混淆的應該就是 ↑ 這兩個 ↗ 東西 －－ (2) 在證明當中的理由 －－ 吧
但因為我的命題 B 從頭到尾都是 (4) 所以我才會搞不懂你在說我把什麼搞混了
====
那回到最一開始「不直觀」、「類比」的議題
我們持的「這個論證沒有不直觀」、「兩個是類似題」的理由其實就是
用在了命題 A 這證明的 (3) 也同樣用在了命題 B (4) 的那證明
而 (4) 的那證明完全沒有問題
－－也就是我們在說: 「(3) 這是很普通的數學歸納法的證明」
「但命題 A 這證明在用 (3) 時因為沒注意到 (3) 在 n = 1 不成立所以失敗」
「因為你看, 同樣用 (3) 的命題 B 那證明就沒問題了」
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/29/2020 23:30:56
所以現在是要來一個一個拆我的文章裡的邏輯錯誤嘛, 那就來 (躺上烤架)
先說我並沒有不高興
因為我的回文風格就如前面說過的已經是會去嘗試理解我回的人問題在哪來解決
不說別的, 整件事過了三四天我還在這裡跟你丟球也是因為這樣
但是一個人做事總不可能只有讚沒有倒讚嘛
那既然有這麼一個好機會讓我吃幾顆觸身球我當然很樂意
====
(i) 我提「平行世界」講的其實是: 命題 A' 和命題 B' 所討論的 U 是不同的集合
因為符合命題 B' 的前提 (包含 P'(2) 成立) 的 U 本來就不會是命題 A' 在討論的
上一行我加了個括號說包含 P'(2) 成立, 也就是說在我的心目中
命題 A' 的討論目標是「集合 U 有關係 R」這樣的 U
命題 B' 的討論目標是「集合 U 有關係 R 且 P'(2) 成立」這樣的 U
因此「前提上」A' 的 U 和 B' 的 U 不一樣, 所以才會說「平行世界」
這裡就先跳到你的 (iii)
－－從這裡看起來, 對你來說這整件事從頭到尾都只有一個 U, 一個 model
然而我在做的論證不知從哪裡飛來一個 P'(2) 成立再去做因此是荒謬的
這也可以從你後來舉了正整數的例子出來可以見之
那所以是我對「討論的 model」這東西有什麼誤解嗎?
這裡也可以帶到 (iv), 而我覺得這裡就是我們的認知不同的關鍵點:
我是否能夠因為我的論證裡只討論符合所有前提的事
而就直接把這些「符合所有前提的事」的集合做為我的 model?
還是我必須要先提出一個在我的討論中所使用到的大範圍性質的 model
(抱歉這個「大範圍性質」我一時想不到有什麼精確一點的數學說法...)
然後對它提出「若這 model 有某某前提的話」?
這其實關係到 (iii) 中究竟論證前提是否能寫做├ P'(2)
我認為可以, 因為在我的 model 這是 model 的性質, 自然成立;
你認為不行, 因為 P'(2) 在命題 B' 中始終是 assumption
因此只能寫成 (4) 的 P'(2)├ ……
這樣一來, 你說我的命題 B' 是 (1) 這件事也是合理的了
因為它真的是 (1), 只是在討論的 model 上不一樣
－－不過也或許, 以上這一大段都是我的誤解
不然這個解釋無法說明你為何一直認為我的 P'(2) 是天外飛來一筆:
因為你也同意命題 A' 和命題 B' 的 model 不同
那為何要把命題 B' 的 (1) 這個形式放在命題 A' 的 model 中
然後再說我不知哪裡飛來 P'(2)?
是我對「model」這個概念有什麼根本上的誤解嗎?
再來, (v) 這裡就是一個我認為由於我的行文風格造成的問題:
因為我簡化了很多東西造成文章裡會有讓人以為有某種 implication 但那卻是不該有的
例如最上面的
: 而命題 A 是錯的但命題 B 是對的這個事實
: 正是在說明 (以下略)
這裡就是你在說的我想用 (4)「證明」(3) 吧
但我原意只是將兩個證明方式拿出來對比, 指出共同點的 (3)
再藉 (4) 的論證有效但「命題 A」的論證無效指出其無效的原因在哪裡而已
那這裡就可以回到 (ii)
我其實很早就同意命題 B' 不需要數學歸納法就能做了, 也是在最上面同一個地方:
: (這兩件事都可以用跟原數歸證明無關的的證明得到←這是重點)
那所以我的行文重點一直都嘗試著重在「這兩個命題其使用數學歸納法的證法的對比」
只不過由於前面提到的行文簡化的關係, 會讓人以為我在說 (4)「證明」(3)
這點確實是我的寫法不當
最後, (iv) 裡有另一件事我還沒提到: 哪些論證是否直覺的論述
我會認為 (3) 並沒有違反直覺其實心裡並沒有在想著 U 是馬還是正整數還是什麼
因為沒有預設 U 是什麼東西, P'(2) 就單單只是個為真的前提而已
不會因為哪個特定的 U 使得 P'(2) 為假就認為令它為真會反直覺
－－我討論的就是 P'(2) 為真的那些東西嘛, 考慮其他的做什麼...
這又接回到這次回應最開始的地方
我其實就只是為了指出在 P'(2) 為真的地方這論證形式並沒有什麼反直覺之處
這才提出了一個 model 不同且這個 model 有著 P'(2) 為真這性質的命題 B' 出來
你要說這是我改變前提然後說它不反直覺我可以承認
我的目的本來就是藉這個對比說這個證法是 OK 的而已
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/30/2020 07:48:54
非勝不可的戰役...嗎; 不可否認我一開始是有想說服你的念頭
但後來 (至少上一次回應) 我的期望已經變成來說服我吧
只是看起來你已經被我反覆的立場改變給搞亂了
(我的立場在回應之間確實有變, 所以才會一下子說 (1) 一下子說 (4))
那在我釐清自己的立場之前再討論下去對事情並不會有幫助
就在這裡打住吧－－我會繼續思考到底什麼立場才是對的, 我先前的問題在什麼地方
※ 編輯: LPH66 (106.1.234.196 臺灣), 10/31/2020 06:45:50
→ hwanger : 我修正一下 在(a)中的"p├ q和├ p→q邏輯等價"這句 10/31 12:53
→ hwanger : 話是錯的 不過P(2)├ P(2)的確是因為├ P(2)→P(2) 10/31 12:54
→ hwanger : 恆真才有的 10/31 12:54