[代數] 隨便想的問題 x^y-y^x=1 有幾組正整數解

[DreamYeh (天使)]

上班時隨便想到的問題，我猜應該會被秒殺

x^y - y^x = 1

有幾組正整數解？（目前我僅發現一組 3^2-2^3=1）

但是否唯一解？或有無限多解？若是唯一解如何證明？




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                    —    請多指教喔!!
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推 TimcApple   : 2^1 - 1^2 = 1, 沒其他答案了, 證明不好做
→ TimcApple   : cf. Catalan's conjecture
推 MisatoMitumi: 卡塔蘭有點太兇了，大概比一下可以發現
→ MisatoMitumi: 小^大 >> 大^小。具體的說證明當n>=3，
→ MisatoMitumi: n^(n+1) > (n+1)^n而且當n+1那邊往上成長時，
→ MisatoMitumi: n^(n+1)的增速大於(n+1)^n的增速。
推 alan23273850: 應該就這兩組而已
推 bye2007     : 如果包含負整數 不知有沒有其他解？
推 Vulpix      : 包含0的話，有無限多解啦……