[其他] 離散兩題

[LiquidTLO (俊偉)]

題目1:
Throw 7 balls into 5 bins.
What's the probability that at least one of the bins
has precisely 3 balls in it?

想法:
C(n,k) denotes from n choose k
Let A_i be event that i-th bin has precisely 3 balls.
Pr(>=1 bins has precisely 3 balls)
= C(5,1)Pr(A_i) - C(5,2)Pr(A_iA_j) where i!=j
這邊Pr(A_i) = C(7,3) * (1/5)^3 * (4/5)^4 應該沒問題
Pr(A_iA_j) where i != j
= Pr(A_j|A_i)Pr(A_i)

Pr(A_j|A_i) = C(4,3) * (1/4)^3 * (3/4)^1
不知道對不對
求幫釐清觀念

題目二: https://imgur.com/a/4JMnEpM
Monty Hall Problem

想法:
Case 1:選錯後選對
Pr(一開始選錯門): (n-k)/n
Pr(揭開j門後選對): k/(n-j-1)
WAS: win after switching
Pr(WAS1)=[(n-k)/n] * [k/(n-j-1)]
       =(k/n) * ((n-k) / (n-j-1))
Case 2:選對後選對
Pr(一開始選對門): k/n
Pr(揭開j門後選對): (k-1)/(n-j-1)
Pr(WAS2)=(k/n) * ((k-1) / (n-j-1))

Sum up 2 cases:
Pr(WAS)=Pr(WAS1)+Pr(WAS2)
       =[k(n-1)] / [n(n-j-1)]
       = (k/n) * ((n-1) / (n-j-1))

To maximize the ratio between Pr(WAS) and k/n
-> To maximize (n-1) / (n-j-1)
k->1
j->n-2
ratio -> (n-1) / (n-(n-2)-1) = n-1


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推 cuylerLin   : (2) 考慮一開始有沒有選到車子的門
→ cuylerLin   : 最後兩個機率加起來你會得 [k(N-1)] /[N(N-j-1)]
→ cuylerLin   : 這個機率你想要大於等於 k/N，結果你發現不管怎樣
→ cuylerLin   : 這個不等式都成立
→ LiquidTLO   : 我怎把對的門記成1門了..
→ LiquidTLO   : 不等式都成立沒錯
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/29/2020 23:07:12
→ LiquidTLO   : 不對啊，他可以小於
→ LiquidTLO   : 小於就是題目要求的
→ LiquidTLO   : Pr(WAS)=[k(n-k)] / [n(n-j-1)]才對
→ cuylerLin   : 有兩個case要考慮喔，第一次選到門然後換到門，跟第
→ cuylerLin   : 一次沒選到門然後換到門，加起來就是我一開始寫的結
→ cuylerLin   : 果
→ cuylerLin   : 選到車換到車才對，一直打成門XD
→ LiquidTLO   : 了解，我沒考慮到選車換到車
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/30/2020 00:08:54
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/30/2020 00:17:49
→ LiquidTLO   : 所以我能得到最高的ratio是n-1
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/30/2020 00:31:52
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/30/2020 00:53:04
※ 編輯: LiquidTLO (125.230.217.188 臺灣), 10/30/2020 02:05:11
→ hwanger     : (1)沒有仔細去看原PO想法 抱歉 但如果把問題想成抽
→ hwanger     : 0號到4號球 抽後放回 連續押7次的話 是可以寫成程式
→ hwanger     : https://paste.ofcode.org/ctsHxYn852F5GFsj7WvTEt
→ hwanger     : 算出來是40600/78125 應該就可以檢驗原本想法對不對
→ LiquidTLO   : 答案一樣
→ LiquidTLO   : python還可以這樣玩lol