[微積] 請教 極值 Lagrange 相關問題

[hardandhard (抵換關係-1+1)]

想請問各位高手
如附圖 https://imgur.com/RyBvOQZ
我想求出最適的W* 可以使得π 得到最大值
在有限制式的情況下，我的第一個想法是用Lagrange，但是我只會單一限制式(令一個λ
然後將限制式左右相減)，在多限制下我想不出來如何解，而我採用忽略限制式的方法，
直接令π一皆微分=0，求出W* 卻無法確認其範圍是否合乎限制式範圍(僅能確認一半範圍
)。
請教各位解法


謝謝各位


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.117.21.120 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1604239700.A.C02.html
→ cuylerLin   : 你這不就是一個 w 的二次式而已？要怎樣確認符合範
→ cuylerLin   : 圍，兩邊減減看有沒有符合大小關係
回覆C大謝謝C大提供的方法我的解確實不在限制式範圍內

→ hwanger     : 不是很懂π到底是π(w)而其他α,v,r,h,c只是滿足1到
→ hwanger     : 5的常數 還是π其實是π(α,w,v,r,h,c) 兩者處理方
→ hwanger     : 式不太一樣 而後者不是用dπ/dw來解的 冏
回覆M大，α,w,v,r,h,c皆為該函數的自變數，所以我不應該用dπ/dw
那該用什麼方法呢?謝謝
推 chemmachine : 你這個是碩士論文的題目還是paper的文章？
→ chemmachine : 你的combine all 那一行計算可能有誤
→ chemmachine : 因為你r 和c 同號由你的r/c>0
→ chemmachine : 你的h沒給範圍或說它是定值。
推 chemmachine : 這種限制式含多個不等式的，用kkt方法可以有公式化
→ chemmachine : 的解法，kkt寫起來很長，我懶得寫了，然後用了kkt
→ chemmachine :  還必須解高維多次方程。所以必須用到數學軟體。你
→ chemmachine : 的這題我套到wolfram 是極大和極小都發散的，你的題
→ chemmachine : 目可能條件不夠。
推 chemmachine : https://reurl.cc/6lkZd6
→ chemmachine : 不知道你會不會指令，我試你的式子是maxvalue和minv
→ chemmachine : alue 都不存在，發散的意思
→ chemmachine : 用範例改成五維，>=就是大於等於，＜=就是小於等於
→ chemmachine : 。
推 chemmachine : 我有測試很簡單的五維是可以解答的，所以並不是回
→ chemmachine : 傳錯誤的關係，應該是極大極小真的發散
回覆M大，這是我在嘗試修改paper的模型，r、c同號沒有錯，h的範圍是 >= c
且v >= h， 請問是在wolfram 上解出多限制下的kkt嗎? 謝謝回覆
※ 編輯: hardandhard (1.173.24.52 臺灣), 11/02/2020 01:35:27
推 chemmachine : wolfram可以解，我試過了，他解出來應該是無限大，
→ chemmachine : 最小是負無限大。明天再回你，告訴你指令。wolfram
→ chemmachine : 是免費網站。
→ chemmachine : 理論就是kkt，這講起來很複雜，你可以找ptt鏡像網
→ chemmachine : 站，我的帳號發文和推文，有四五篇講拉格朗日差值法
→ chemmachine : 的，我有講哪裡有kkt的資料。
→ chemmachine : 要懂全部的理論要會拉格朗日，極值定理，海森矩陣，
→ chemmachine : 不等式和等式限制式的拆解等。我自己弄懂大概三個星
→ chemmachine : 期。
→ hwanger     : 你可以如上找一個數值軟體如SciPy來解 也可以用極值
→ hwanger     : 定理搭Lagrange來解 令所有滿足條件1到5的
→ hwanger     : (α,w,v,r,h,c)所成的集合為我們的domain 一般流程
→ hwanger     : 如下
→ hwanger     : 1.計算▽π=0, 先看算出來的(α,w,v,r,h,c)是否在範
→ hwanger     : 圍內, 搜集所有符合的解成集合C. 這部份很像你原本
→ hwanger     : 打算做的東西, 我們就是先考慮所有在domain中
→ hwanger     : interior的critical points.
→ hwanger     : 2.從n=1到5, 任意選n條限制式g1,g2,...,gn出來算
→ hwanger     : Lagrange. 算法很簡單, 跟一維的差不多, 就是假設
→ hwanger     : 存在λ1,λ2,...,λn使得
→ hwanger     : ▽π=λ1▽g1 +λ2▽g2 +...+ λn▽gn,
→ hwanger     : g1=0, g2=0,..., gn=0, 然後去解
→ hwanger     : (α,w,v,r,h,c,λ1,λ2,...,λn). 理論上因為是6+n
→ hwanger     : 條方程式解6+n個變數, 所以解出來應該是離散解. 算
→ hwanger     : 出來的解看有沒有在範圍內, 搜集所有符合的解成集合
→ hwanger     : C_{ni}. 這部份是把在domain的boundary上所有值得考
→ hwanger     : 慮的點都找出來.
→ hwanger     : 3.算出所有在domain可能的頂點成集合C', 這部份需要
→ hwanger     : 對domain的幾何性質有所了解. 不過因為你只有5個限
→ hwanger     : 制式卻有6個變數, 一般很難形成所謂的頂點.
→ hwanger     : 4.算出π在C,C_{ni}和C'上的所有值, 找出可能潛在的
→ hwanger     : 極值. 這部份白話說就是算出所有在critical points
→ hwanger     : 上的值來做比較.
→ hwanger     : 5.最重要的一步, 考慮π為何在domain上有極值. 數學
→ hwanger     : 中有一些理論(如compact)或其變形可以當作輔助說明,
→ hwanger     : 這是比較嚴格的證明. 一般在非數學系的應用中, 都會
→ hwanger     : 用一些比如說物理上的理由說明極值存在, 這裡要注意
→ hwanger     : 的是, 你要確保理由夠充分而不是在瞎說.
→ hwanger     : 當你有充分的理由相信極值存在的話, 那在4算出來的
→ hwanger     : 會是極值. 不過如果你沒有足夠的理由說明為何極值會
→ hwanger     : 存在的話, 那通常你能得到最好的結果是你有算出極大
→ hwanger     : 值或極小值, 不過也會有可能你算出來的都不是極值
→ hwanger     : 特別注意的是在找全域極值時 check Hessian matrix
→ hwanger     : 的正定或負定性是沒辦法說明全域極值的存在性的
→ hwanger     : 比如說tan(arctan(x)arctan(x-1)arctan(x+1))在全空
→ hwanger     : 間上有局部極值 但沒有全域極值 更甚者 我們可以找
→ hwanger     : 一個bounded的地方使得該函數有局部極值而無全域極
→ hwanger     : 值
→ hwanger     : dπ/dw算出來的是在某組固定的(α,v,r,h,c)下的可能
→ hwanger     : 極值發生點 是一維affine space上的極值問題 如果允
→ hwanger     : 許(α,v,r,h,c)可以變動 這空間會變成6維有bounday
→ hwanger     : 的manifold 極值問題的考慮方式是不太一樣的
→ hwanger     : kkt condition基本上就是上述1到4(含有部份5)的整合
→ hwanger     : 推廣 可以注意到基本上我們都只有考慮first derivat
→ hwanger     : ive test
→ hwanger     : 抱歉SciPy似乎沒有直接用KKT的模組 可能要網路上找
→ hwanger     : 或直接寫一個module(Matlab/GNU Octave,fortran亦同
→ hwanger     : ) 不好意思
推 chemmachine : https://reurl.cc/d58eRV
推 chemmachine : https://reurl.cc/zzXAy6
推 chemmachine : 我試過了，限制式不能太多，7.8個以上WOLFRAM會無法
→ chemmachine : 理，所以把你的限制式合併成一個連續的不等式
→ chemmachine : 我試了很多次刪減你的限制式，每次結果都不一樣
→ chemmachine : 然後不等式WOLFRAM是可以合併的，我稍微試了一下