[微積] 關於拉格朗日函數表示式的疑惑

[NINEVEN (Pruzzen)]

各位先進大家好
最近在閱讀經濟學書籍(張寶塔個經)有關有限制條件最適化問題

max f(x,y)
s.t. g(x,y) = k

上述以拉格朗日函數形式可表示為
L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(k-g(x,y))

其中讓我感到疑惑的是λ(k-g(x,y))這一項

由於手邊沒有相關數學書籍於是查找了網路資源

有些會將該項表示為λ(g(x,y)-k)

想請教各位先進哪一種表示法才是正確的

或是兩種表示法各有應用的時機？

謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.142.77.148 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1604757808.A.F57.html
→ hwanger     : 沒有差 解出來的λ差一個負號而已 不過λ並不是我們
→ hwanger     : 關心的重點
→ hwanger     : Lagrange multiplier的精髓是▽f和▽g會線性相依 你
→ hwanger     : 換成另一種形式 一樣是問▽f和-▽g有沒有線性相依
感謝hwanger大的說明，非常感謝您！
※ 編輯: NINEVEN (220.142.77.148 臺灣), 11/07/2020 22:11:20
推 aikotoba    : 在經濟學上會有點差異 lambda還代表者shadow price
→ aikotoba    : 每一單位額外生產要素所需的成本 所以lambda 照書上
→ aikotoba    : 的擺才會是正值
推 cuylerLin   : 推aikotoba大，沒錯 lambda 的正負號其實很重要，個
→ cuylerLin   : 經裡會代表某種 marginal utility ，所以不是你喜歡
→ cuylerLin   : 怎樣設定就怎樣設定的，當然數學形式上兩者可能沒差
→ cuylerLin   : 就是了～
→ hwanger     : 抱歉 對經濟不熟
→ hwanger     : 只能從數學的角度入手 真的不好意思
推 Vulpix      : 熱力學也會用來表示某些量，不過只要知道跟書上的
→ Vulpix      : 差異，自然能夠自己校正正負號。
→ hwanger     : XD 完全忘了這回事 我對不起我的熱力學老師 冏
→ hwanger     : 一堆distributions都忘了 我也太冏了
推 Vulpix      : 其實數學上也可以有意義，我記得可以用λ判斷是哪一
→ Vulpix      : 種極值。不過實用性低，因為直接檢查比較快XD
→ Vulpix      : 嗯……好像是可以啦，不過有點忘記怎麼弄了。
→ hwanger     : V大說的應該是像kkt conditions這種有在constraints
→ hwanger     : 加額外條件的
→ hwanger     : 原始的lagrange是沒辦法的 因為你沒辦法判別g=0, -g
→ hwanger     : =0,或者算出來的究竟是不是極值 lagrange說到底就是
→ hwanger     : 一種first derivative test
→ hwanger     : lagrange multiplier本身只陳述▽f在極值發生處 會
→ hwanger     : 是▽gi的線性組合
→ hwanger     : 但一般而言 我們沒有逆敍述
推 Vulpix      : 嗯，剛剛想了一下，是這樣沒錯。不過我們可以把▽g
→ Vulpix      : 的部份從Hess(f)裡面扣除，或者把Hess(f)限制在gi=0
→ Vulpix      : 的曲面上，然後考慮正定性，藉此判斷。看曲面的dim
→ Vulpix      : 和codim哪個小，就用哪個吧。
→ hwanger     : V大是想考慮Riemannian manifold上的Hessian matrix
→ hwanger     : 來判定局部極值嗎 這的確做的到
→ hwanger     : 不過也可以直接用Bordered Hessian來判定局部極值 X
→ hwanger     : D
推 Vulpix      : 那就是建構他的做法吧……我沒記錯的話。
→ Vulpix      : 不過二階判斷還是有極限。
→ hwanger     : XD first & second derivative test的確是有極限
→ hwanger     : 不過應該是我誤會了 冏 一般是不會特別用Riemannian
→ hwanger     : manifold上的Hessian matrix來推Bordered Hessian
→ hwanger     : 畢竟前者是order m-n 後者是order m+n