[中學] 2^n+2^8+1=x^2 的正整數解

[algebraic (algebraic)]

如題
已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整數解有兩組

n = 5  時，x = 2^4+1
n = 14 時，x = 2^7+1

我想請問要怎麼證明只有這兩組解?
n為偶數的時候我有想法，而且也證的出來
n為奇數時我實在是不知道該怎麼做

或許很簡單，只是我沒看到那條路而已?

有什麼想法還煩請各位指教了
謝謝!

有沒有正整數解的八卦?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.195.202 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1605613146.A.F18.html
推 vectorlog   : x=a+1,  第一種a^2=2^n , 第二種a^2=2^8
→ vectorlog   : 假設x=a+1啦~
→ hwanger     : 不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或
→ hwanger     : a^2=2^8這兩個式子
推 GaussQQ     : 這之前有人問過等價的問題，沒人解出
→ GaussQQ     : https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600963968.A.DD6.h
→ GaussQQ     : tml
我的題目來源跟網址內的題目來源，應該是同一個沒錯
只是我把題目做了一些變換，才丟上來問的

不過沒想到的是，原來那時候大家也沒有解出來
我想原出題者應該自己也沒有注意到，怎麼證只有這兩個解吧

總之我大概知道，這似乎是一個很non-trivial的問題了
只能說數論就是這樣吧!

推 Starvilo    : https://i.imgur.com/xupmuGr.jpg
→ Starvilo    : 不知這樣算不算@@
推 MisatoMitumi: 樓上是對的
→ MisatoMitumi: 等等，不是，因為2^(n-8)+1還可以分解
→ MisatoMitumi: 所以有機會K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+1
推 Starvilo    : 2數差1
噓 MisatoMitumi: K偶L奇，所以還是有機會的。2^m+1這種東西因數常常
→ MisatoMitumi: 還滿多的
推 MisatoMitumi: 誤噓抱歉
※ 編輯: algebraic (220.136.195.202 臺灣), 11/17/2020 22:58:16
→ cmrafsts    : 只用模2的power做不出來，因為有hensel lemma
推 TimcApple   : n = 2k+1, 設 y = 2^k 會有 257 = x^2 - 2y^2
→ TimcApple   : 可解得 (x,y) = T^m (17, +-4)
→ TimcApple   : T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解
→ TimcApple   : 然而沒法確定 y 是不是 2-power
→ TimcApple   : 同樣是因為 hensel lemma 的問題
推 fragmentwing: http://i.imgur.com/DIg2YO0.jpg
→ fragmentwing: 不知道這樣可不可行
→ fragmentwing: 啊啊 不行 沒有偶數一定是2的次方的保證
推 Starvilo    : 與IMO2006Q4很像
推 Starvilo    : https://i.imgur.com/v5tICnq.jpg
→ algebraic   : 我用他的方法 套不進這一題QQ