[代數] 包含自然數 但不足以定義自然數？

[dharma (達)]

另外，對於一些也很複雜的公理體系，如果其不足以定義自然數，哪怕這樣的公理體系包
含了自然數，也可能不受“哥德爾不完備定理”的約束。比如，塔斯基（Tarski）證明了
實數和複數理論都是一致且完備的一階公理體系，雖然它們都包括了自然數。
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包含自然數

但不足以定義自然數


這是什麼意思？

thanks

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→ hwanger     : 簡單地說 就是雖然我們的model是實數 但我們只限定
→ hwanger     : 用一階的語言來描述實數 導致雖然我們的model包含實
→ hwanger     : 自然數 但僅從公設集是推不出Peano算術系統的
→ hwanger     : 1. 一個完整的公理體系包含了兩個部份: model和用來
→ hwanger     : 描述他的語言(wff, 公設集和rules of inference)
→ hwanger     : 其中公設集是儘可能的搜集我們認為model會符合的"基
→ hwanger     : 本"特質
→ hwanger     : 2. 實際上Tarski做的事是找出了Tarski's axioms for
→ hwanger     : Euclidean geometry 並證明了這套公設集是一階完備
→ hwanger     : 的 只不過我們可以證Real closed field理論可以等價
→ hwanger     : 於這套公設集
→ hwanger     : 3. 要建立一個完整以real numbers為宇集的公理體系
→ hwanger     : 需要用到二階語言(因為我們需要least upper bound
→ hwanger     : property) 而closed real field雖然以實數集為宇集
→ hwanger     : 但公設集的語言卻只限定在一階語言上 所以很多原本
→ hwanger     : 我們認為實數會有的性質 在closed real field上是推
→ hwanger     : 不出來的
→ hwanger     : 4. 我們現在只用一階語言來看closed real field 則
→ hwanger     : 我們是無法像平常一樣定義inductive set 也就是我們
→ hwanger     : 無法定義自然數 (例如在Apostol的Mathematical
→ hwanger     : Analysis中 自然數就是定義成最小的inductive set)
→ hwanger     : 5. 滿足closed real field的model不只一種(up to
→ hwanger     : isomorphism) 這其實也證明了least upper bound
→ hwanger     : property只能用二階語言描述
→ hwanger     : 6. 雖然closed real field是一階完備, 一致且可有效
→ hwanger     : 判定公設的公理體系 但因為無法描述least upper
→ hwanger     : bound property 所以在分析(一個數學分支)上並沒有
→ hwanger     : 什麼卵用 他的相關研究主要在高等代數中
→ hwanger     : 上面closed real field是typo 應該是real closed
→ hwanger     : field才對 抱歉
→ hwanger     : 7. 再補充一點 以我們對fields的知識 我們其實可以
→ hwanger     : 看出所有滿足real closed field的model都必然包含自
→ hwanger     : 然數
目前先把推文的重點先背起來

再慢慢仔細弄懂
※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 12/10/2020 17:12:03