作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [其他] 離散兩題
時間Tue Dec 1 16:13:04 2020
※ 引述《LiquidTLO (俊偉)》之銘言:
: 題目: https://imgur.com/a/l1PMrER
: 第一題沒什想法
: 第二題我只用chebyshev導出α > 1/2時機率是1
: https://imgur.com/a/4ozRw9D
: α=1/2時,我知道(X_k-μ)/σ√n 是N(0,1)
: 然後就卡住了
: 不知道怎導α = 1/2 和 α < 1/2時的機率
α=1/2,直接使用 CLT 即可。
α<1/2,也可以透過 CLT 來做:
先隨便指定一個正數 ε,然後考慮比 ε^(1/(1/2-α)) 大的 n。
P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1)
=P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦n^(α-1/2))
≦P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦ε)
→Φ(ε)-Φ(-ε) = erf(ε/√2) as n→∞ by CLT
所以 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) ≦ 任何一個 erf(ε/√2)
也就是 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) = 0
而 liminf 也是 0,所以想算的那個極限就是 0。
至於第一題,答案是 N(0,k(k+1)(2k+1)/6)。
推理過程用到:
1. X_i/√n → 一個 N(0,i^2),by CLT。
2. 常態分佈的獨立隨機變數相加會得到一個常態分佈的隨機變數。
平均數、變異數都是那些獨立隨機變數的和。
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→ LiquidTLO : X_i/√n → 一個 N(0,i^2) 是因為fair coin? 12/01 23:11
→ LiquidTLO : σ一定是i 12/01 23:12
→ Vulpix : X_i是n個白努力試驗的和,除以n就會是平均。然後拿 12/01 23:34
→ Vulpix : 進CLT去看。 12/01 23:35
→ LiquidTLO : 我知道X_i/√n-> N(0,σ^2) 12/01 23:50
→ Vulpix : 喔,我看懂你的問題了。fair就是正反面機率一樣。 12/02 02:36
→ Vulpix : 所以σ一定是i。 12/02 02:37
推 LiquidTLO : 現在比較熟悉常態和CLT了 12/02 02:46