[中學] 互質的證明

[NASAlion (最愛健身小刺蝟)]

請教先進一個證明
若a,b互質，則a+b和a×b必互質


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→ suker       : 令(a+b,ab)=d, d│a+b且d│ab
→ suker       : 則d│(a+b)*(b)+ a*b(-1)=b^2
→ suker       : d│(a+b)(a)+a*b(-1)=a^2
→ suker       : 得d│(a^2,b^2);(a,b)=1 a,b互質  d=1
→ Sfly        : Gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1. Hence gcd(a+b,
→ Sfly        : ab)=1.
→ yyc2008     : 請問gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)怎麼得到?
→ yyc2008     : gcd(a,b)|(a+b),怎麼確定gcd(a,b)也是a+b和a的最大
→ yyc2008     : 公因數呢?
推 matsunaga   : 輾轉相除法就可以說明了
→ matsunaga   : 回yuck的留言
推 LPH66       : 寫成 gcd(a+b,a)=gcd(a,b)=gcd(a+b,b) 應該清楚些
推 yyc2008     : 謝謝LPH大 好像懂了
→ yyc2008     : 等一下a=qr+k  k>q時 gcd(a,q)=gcd(q,k)也成立嗎?
→ LiquidTLO   : gcd(a,q)=gcd(q, a mod q)=gcd(q,k)
→ yyc2008     : 假設a>b gcd(a+b,a)=gcd(a,b)可以了解但是gcd(a+b,b
→ yyc2008     : gcd(b+a,b)=gcd(a,b)這一步就不知道怎麼得 當a>b
推 ERT312      : Let A={n∈N:n|a & n|b}, B={n∈N:n|a+b & n|b}
→ ERT312      : 易證 A=B, 所以若 Max A 存在, Max A = Max B
→ TimcApple   : 設 c = gcd(b+a,b), d = gcd(a,b)
→ TimcApple   : c | a+b, c | b, 因此 c | a, 於是 c | d
→ TimcApple   : d | a, d | b, 因此 d | b+a, 於是 d | c
→ TimcApple   : 得到 c = d
→ TimcApple   : 不要光只會用 gcd(a, b) = gcd(b, r)
→ TimcApple   : 多用 gcd 原本的定義ow o
推 yyc2008     : 謝謝E, T大, 我懂了 以後自己多想想