→ harry921129 : 謝謝您的指點..受益良多~~ 12/10 19:32
: 抱歉,我把我請益的問題說得更精準更簡潔一點
: 1.通解的定義是甚麼? 是所有解, 還是說帶有著參數可創造其它解
: 且帶入方程式等號成立的解? (我知道一般來說都是所有解)
目標是所有解。實用上也通常都是所有解。
不過偶爾可能會看到有人用在「大部分」解上。
像是 (x^2+y^2)(x+y-1)=0 或(x^2+y^2)(x+y)=0，
就可能會有人認為 x=y=0 是很無足輕重的解。
: 2.舉三元一次方程式例子
: x+3y+5z=1 當然通解也很多表示法沒錯 包含了我舉的例子
: x=3+2t+s y=1+t-2s z=-1-t+s t,s屬於R
: 也因為算出來後帶入方程式後等號成立 我們就說這是通解
: 卻沒去檢驗他是否為"所有解" 所以我才會有第1點的疑問?
那就去檢驗啊。
: 另外想知道要如何驗證才是確實嚴謹的?
「解」滿足方程式，只說明「解」是解。
要驗證另一端，通常都是說明解只能長成「解」這個樣子。
以你的例子來說：
可以從 x=1-3u-5v, y=u, z=v 下手。（當然 u,v \in \mathbb(R)，以下不贅述。）
這應該是代表「所有解」的參數式，你可以試著補上中間的邏輯。
然後試著說明每給一組(u,v)，
1+t-2s=u 和 -1-t+s=v 都能用適當的 t,s 湊出 u,v。
這樣就說明了解的形狀。
: 而是否 n元一次方程式的解若帶有n-1個參數 ,是否就可確定是所有解(通解?)
我覺得你須要去了解一下什麼是線性相依和線性獨立。
如果你的參數用法還是這種線性組合的形式的話，
那麼在各參數對應的方向向量是彼此獨立的前提下，
可以確定那就是所有的解的表達式了。
: 3. 另外有一個小小請益
: ax+by+cz=0
: 若 v=(x1,y1,z1) u=(x2,y2,z2) 為其方程式的相異兩解
: 且 v不是u的k倍
: 那麼 span{v,u}=方程式所有解??? 如何證明呢?
如果要堅持不用維度概念的話，作法可以模仿上面那套。
如果你有維度的概念，那 dim span{v,u} = 2，dim zero{ax+by+cz} < 3。
從後面兩個事實知道 dim zero{ax+by+cz}≦2，而且 zero{ax+by+cz} 有一個二維子集。
所以 dim zero{ax+by+cz} = 2，
zero{ax+by+cz} 是個平面，而且包含另一平面 span{v,u}，只能相等了。
高中以下不深談，是因為過程瑣碎，而且只要邏輯清晰的人就能自己推理。
大學以上要看科目，但多數不談的理由也是因為這概念通常都很簡單。
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