[其他] 不能被證明或者被證偽 那它就是對的

[dharma (達)]

哥德爾不完備定理

我已經看了很多文章

稍微熟悉


但這部影片順便提到的黎曼猜想

為什麼會有「不能被證明或者被證偽 那它就是對的」？

thanks




哥德爾不完備定理到底說了啥？為什麼希爾伯特的數學夢因此破滅？
https://youtu.be/FVZaOTi6ZbE?list=PLK6PS6h9LBbP3FgOWnlyQ_CwtCk_TTf15&t=870

14:30

還有現在仍然沒有證明出來的黎曼猜想

很有可能就是哥德爾所說的這種不能夠被證明的定理啊

但是你換過來想 如果要是這樣的話

那黎曼猜想某種程度上就是對的

因為它要是錯的 就一定知道錯哪了 也就是我可以證明它錯了

但是如果黎曼猜想不能被證明或者被證偽

那它就是對的 就是黎曼定理了

是不是一個很詭異的證明黎曼猜想的辦法

就是我證明它不能夠被證明的 所以它是對的 太詭異了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 107.161.88.23 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1608543096.A.577.html
→ Ricestone   : 就像他舉的例子，Goodstein's theorem
→ Ricestone   : 反過來說就是因為你無法證偽，所以永遠不會找到不符
→ Ricestone   : 的解，所以只以我們的目標來說，那就是對的
→ Ricestone   : 黎曼猜想跟Goodstein類似的地方是說「所有的某個東
→ Ricestone   : 西都具有某個性質」   啊如果是其他的命題就未必能
→ Ricestone   : 這樣解釋了
有點懂了
推 annboy      : 「因為他是錯的，就一定知道錯哪」這句話不一定對
※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 12/21/2020 17:46:15
推 annboy      : 如果你造了一個反例，才表示你知道他錯在哪，所以
→ annboy      : 你才說他是錯的
→ annboy      : 可能某個命題是錯的，但至今沒人造得出反例，所以
→ annboy      : 暫時不知道到底該命題是對或錯
推 aikotoba    : 世界五分鐘前假說
推 isaswa      : 哥德爾不完備定理說的是「你無法用目前的公設證明或
→ isaswa      : 證否某些定理，也就是有一些命題和你的公設系統是獨
→ isaswa      : 立無關的，你要把那條定理訂為對或錯單看你的公設系
→ isaswa      : 統，然後哥德爾有給出一種構造方式讓一階邏輯系統永
→ isaswa      : 遠不可能包含所有命題的真偽
→ isaswa      : 最典型的例子就是選擇公理
→ isaswa      : 公理就是我們認為對的東西，我們設定它永遠是對的，
→ isaswa      : 然後根據這些公理所推導出的邏輯上為真的叫做定理
→ isaswa      : 哥德爾給出例子說總是存在一些命題，是你的公理系統
→ isaswa      : 永遠不可能推導出來的，所以它是對還是錯和你的公設
→ isaswa      : 無關，你開心設定成對或錯都可以
推 sunev       : 如果黎曼猜想可以是錯的，那個數學體係應該很有趣？
推 Linethan    : 可是Goldstein定理還是有被證明出來的，它只是不能
→ Linethan    : 在算術體系下被證明，但在其它體系下就被證明了，
→ Linethan    : 不是嗎？我認知有誤請指正
推 Linethan    : 同理，即便黎曼猜想不能在某些公設之下被證明，那也
→ Linethan    : 不能代表它是對的吧，只能說它可能需要其它公設才
→ Linethan    : 能被證明或證偽
推 LPH66       : 是, 但當這個「某些公設」是很基礎的數學公設時
→ LPH66       : (例如皮亞諾公理這種等級的東西) 那你上哪去找
→ LPH66       : 「其他體系」出來嘗試「證明」？
推 Linethan    : Goodstein不就是在皮亞諾公理以外的體系被證明？
→ Linethan    : 我當然不知道黎曼猜想需要什麼體系才能被證明XD
→ Linethan    : 我只覺得『無法在既定體系被證明或證偽 就是對的』
→ Linethan    : 這樣的觀點非常奇怪吧 對或錯 和能否被證明是兩回事
→ Linethan    : 除非要把黎曼猜想直接當成一個公設 也就是人為賦予
→ Linethan    : 它是正確的 但即便如此 那也是人為選擇的結果
→ Linethan    : 而非『因為無法證明，所以是對的』這種推論的產物
→ Ricestone   : 我前面有說啊，其他種類的命題這麼推論不會對
→ Ricestone   : Goodstein無法證明比較像是沒辦法敘述那證明的狀況
→ Ricestone   : 雖然所謂的無法證明或證偽原本就是無法敘述的意思啦
→ Ricestone   : 另外當然我的意思並非這樣是正式證明，影片應該也沒
→ Ricestone   : 那個意思
推 sunev       : 順帶一提，皮亞諾公設加goodstein的否證的體係是存
→ sunev       : 在的 https://math.stackexchange.com/questions/
→ sunev       : 2611588/
→ sunev       : https://math.stackexchange.com/questions/2611588
推 kilva       : 連續統假設獨立於ZFC集合公理已被用力迫法證出
→ Vulpix      : 所以已經能夠構造出連續統真和假的不同集合論？
→ Vulpix      : 含CH的集合論應該是只要把CH當新公理就可以，那CH為
→ Vulpix      : 非的要怎麼辦？該怎麼插進新的cardinality？
推 LPH66       : https://mathoverflow.net/a/10229
→ LPH66       : 看起來好像是說: 在 CH 為非的模型中, 有些實數
→ LPH66       : 是較小 (且 CH 成立) 的模型裡沒有的
→ LPH66       : 所以這較小的模型裡的實數的 cardinality 就在中間
→ LPH66       : 我理解起來好像是這樣