[其他] 選擇公理為什麼需要證明？

[dharma (達)]

說到這裏，大家可能已經在抱怨：這不是很明顯嗎？如果你有幾個籃子，每籃內都至少有
一隻雞蛋，我們當然可以在每一個籃子抽一隻雞蛋吧！但是數學中一切命題都需要證明，
這個也不應例外。
...
先說前者，「任意」這個字用於集合論之類的數學基礎時是十分含糊的，數學上不存在一
個明顯的函數f(X)，可以在任何一個非空集合X中準確地抽出一個元素。
http://mathdb.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html




看了幾篇「選擇公理」的文章

還是不懂這個公理為什麼需要證明

求解？




公理 維基百科

在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被
視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明
時，因果關係畢竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且
符合直覺，如「a+b=b+a」。

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1610099644.A.282.html
→ Ricestone   : 是因為無法以其他公理證明所以才只能以公理的形式
→ Ricestone   : 接受它的存在   因為實在太好用了
可是好像又有一些爭議

其中如下：



不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條
公理，有很多美好且乎合“常理”的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多“常理”大
不協調。

其中一個為人熟識的不合乎常理的結果是“巴拿赫─塔斯基悖論”（Banach-Tarski
Paradox），或稱“分球問題”。這個悖論可以說是違反了物理學定律，因為這個悖論說
可以把一個單位球體（半徑為1）分成有限個點集（最少可分成五份），然後通過一些剛
體運動，即旋轉和平移，再重新組合，不過在組合後，竟然成為兩個單位球體，也即是體
積增加了一倍，而這個悖論的證明是必須利用到“選擇公理”的。也就是說，如果我們選
擇接納“選擇公理”，則“巴拿赫─塔斯基悖論”便是一條定理，但現實中有這個可能嗎
？
https://bityl.co/57pv
※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 01/08/2021 18:31:01
→ Ricestone   : 這不算爭議啊  那些就是看起來不合理卻是正確的而已
→ Ricestone   : 反過來說就是你覺得選擇公理不該接納，那也不會有這
→ Ricestone   : 個被俗稱是悖論但實際上是定理的東西而已
→ Ricestone   : 重點是那個分球問題到底對不對，不是我們現實生活有
→ Ricestone   : 辦法去判定的，因為分球的方法本身就不可能現實實現
→ Ricestone   : 所以無從去說應該要對還是不對
→ wohtp       : 公理沒有對不對，只有合不合用。這裡的問題應該是我
→ wohtp       : 們不知道選擇公理什麼時候可能不合用，所以拿它來證
→ wohtp       : 明定理的數學家會怕。
推 WINDHEAD    : Banach-Tarski 沒有違反物理學定律啊
推 WINDHEAD    : 嚴格說起來「體積變兩倍是一個錯覺」
→ WINDHEAD    : 因為切出來的碎片是無法定義體積的，所以體積的可加
推 WINDHEAD    : 性在此被破壞了。
→ WINDHEAD    : 選擇公理沒那麼可怕，就跟基改食品標示一樣
推 Linethan    : 我還沒看Banach-Tarski定理的證明 但我在猜想其根本
推 Linethan    : 的道理是否和以下論述類似？考慮兩個interval集合
→ Linethan    : [0,1]和[0,2] 這兩個集合的元素個數(cardinality)
→ Linethan    : 是一樣多的 因為存在一對一的函數從[0,1]到[0,2]
→ Linethan    : 比如f(x)=2x 因此我們可以把線段[0,1]變換成[0,2]
→ Linethan    : 但是以長度來看 [0,2]的長度自然為[0,1]的兩倍
→ Linethan    : 也就是說從集合的角度來看 [0,1]和[0,2]一樣大
→ Linethan    : 但以長度來看它們不相同 這和分球問題的道理類似嗎?
推 psion       : 集合間可以bijective 是否就代表measure一定要相同?
推 sunev       : Banach-Tarski 有要求isometry
推 Vulpix      : 我記得分完的球都沒有 measure。
推 xavier13540 : 回樓上L大: 分球定理只有旋轉平移 不只是bijection