作者LPH66 ( )
看板Math
標題Re: [幾何] 國中證明
時間Tue Jan 12 05:09:37 2021
※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: 請教一下版上前輩們這題
: http://i.imgur.com/aNe5UCE.jpg
: 先謝過了QQ
: -----
: Sent from JPTT on my Sony H9493.
記得這題是經典題但我竟然忘了當年是怎麼做的了...
剛才自己重新思考應該是得出了一個國中程度的做法了:
作這樣子的垂直線, 垂足分別是 K L M N:
https://i.imgur.com/0P7zx2y.png
(1) 證明 BK = CL, AM = DN:
由作圖 BK // CL, 故內錯角 ∠KBE = ∠LCE, 加上直角相等及題設 BE = CE
AAS 全等得 △KBE 全等於 △LCE, 故 BK = CL; AM = DN 類似可證
(2) 證明 ∠ABK = ∠DCL:
再作這樣子的垂直線, 垂足分別是 P Q:
https://i.imgur.com/16fsBi4.png
因為作圖的直角, APKM 和 DQLN 都是矩形
於是 BP = BK - PK = BK - AM = CL - DN = CL - QL = CQ
加上直角相等及題設 AB = CD, RHS 全等得 △ABP 全等於 △DCQ
故 ∠ABK = ∠DCL
(3) 證明 ∠1 = ∠BHK = ∠CGL = ∠2
最後由 BK = CL, ∠ABK = ∠DCL 及直角, ASA 全等得 △HBK = △GCL
故 ∠BHK = ∠CGL 得證
看起來很多步, 但思路很簡單:
要證的 ∠1 = ∠2 看起來建立在左右兩邊有某種程度的對稱
但題目並沒有給出能夠推出對稱的條件
(1) 在做的是把兩邊歪著的圖形"拉正", 把對稱給畫出來
拿 (2) 的圖和原圖對比應該很明顯可以感覺到為什麼我說 (1) 是 "拉正"
(這也是為什麼 (2) 的圖裡我把 E F 給擦掉了, 就是要凸顯這一點)
那這個對稱寫明了其實就是 (3) 裡證明的全等
但這個全等如果只有 (1) 的結果還少一個條件
而 (1) 裡只用到兩個題設相等, AB = CD 沒有用到
若把 AB = CD 和證明這個全等可能還需要的條件一比對
可以看到它跟 ∠ABK = ∠DCL 這個條件很靠近, 所以我們用 (2) 把它連起來
就是這樣了
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01010011 01101110 01010110 01111010 01100100 01000011 01000010 01001110 011000
10 00110010 00110101 01110000 01100001 00110010 01000101 01110101 01001001 010
00101 01001110 01101000 01100010 01101001 01000010 00110101 01100010 00110011
01010101 01100111 01100001 01000111 01010110 01101000 01100011 01101001 010000
10 01110100 01011010 01010100 00111000 01100111 01010010 01000111 00111001 011
10010 01100001 01010011 01000010 01000101 01100010 00110010 01110100 01110000
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→ Vulpix : 先旋轉，然後DFF'A'是平行四邊形，所以兩角各是等腰 01/12 05:38
→ Vulpix : 三角形CDA'的底角的同位角。 01/12 05:38
推 reye : 樓上這做法乾淨俐落，漂亮 01/12 05:51
→ LPH66 : 哎呀, 有旋轉過但沒注意到平行四邊形... 01/12 06:44
推 MisatoMitumi: 推! 01/12 07:02
→ revengeiori : 謝謝大家~ 01/12 12:15
推 ZO20 : 推 01/12 17:19
→ sitma : 剛好手上資料有這題，印象中是google幾何難題就會出 01/12 20:54
→ sitma : 現的題目 01/12 20:54
