[中學] 110學測多選第13題

[mj813 (薩坨十二惡皆空)]

fx = x^3+ax^2+bx+c
a,b,c為有理數，選正確的選項。
想請問（4）（5）兩個選項...

（4）存在a,b,c
           使得f1,f2,f3,f4依序成等差

（5）存在a,b,c
           使得f1,f2,f3,f4依序成等比

該如何判斷與證明對錯呢？感恩！



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※ 編輯: mj813 (118.168.96.82 臺灣), 01/24/2021 10:48:20
→ AnnaOuO     : 相減相除看是否有解(?)
推 ruj9vul3    : 等差是一次函數 等比是指數函數 看交點個數
→ mj813       : 不是交點「個數」問題，是要剛好交在..
推 mantour     : (4)代入f2-f1=f3-f2=f4-f3 解a,b,c就知有無限多解
推 Vulpix      : 4無解啦。5才是無限多解。
→ mantour     : (5) 令 fx=1/4*[(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+
→ mantour     : (x-1)(x-2)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-3)]
→ mantour     : 則f1,f2,f3,f4=-3/2,3/2,-3/2,3/2為等比
→ mantour     : 對不起 (4) 代入是無解才對
→ mantour     : 請問(5)除了找特例有沒有其他判斷方式, 直接代入看
→ mantour     : 不太出來有沒有有理數的解
→ mj813       : man兄你代入的數值有誤...
推 mantour     : 哀 我錯了
推 Vulpix      : 比值r只要不是1，那首項應該是6/(r-1)^3。
推 TimcApple   : 考慮 A(1,1), B(2,3), C(3,9), D(4,27)
→ TimcApple   : 顯然四點不共線, 2(x-1)^2 + 1 只過 ABC
→ TimcApple   : 因此過 ABCD 的最低次多項式是三次
→ TimcApple   : 然後把首項係數除掉就得到例子了
推 TimcApple   : 噢 想到了 差分最快
→ TimcApple   : 等比的差分還是等比 二次式差分是一次式
→ TimcApple   : 三點等比 只要比值不是1 就不能是一次式
→ TimcApple   : 因此四點等比不能是二次式 以此類推
推 ruj9vul3    : 一次函數交三次只有三個點 4就false
→ ruj9vul3    : 指數函數有機會跟三次交四點 再拉格朗日插值證明存
→ ruj9vul3    : 在性