Re: [中學] 110學測多選第13題

[kilva (嗡嗡)]

※ 引述《mj813 (薩坨十二惡皆空)》之銘言：
: fx = x^3+ax^2+bx+c
: a,b,c為有理數，選正確的選項。
: 想請問（4）（5）兩個選項...
: （4）存在a,b,c
:            使得f1,f2,f3,f4依序成等差
: （5）存在a,b,c
:            使得f1,f2,f3,f4依序成等比
: 該如何判斷與證明對錯呢？感恩！

f1 =  1+  a+ b+c
f2 =  8+ 4a+2b+c
f3 = 27+ 9a+3b+c
f4 = 64+16a+4b+c

當為等差時，f2-f1=f3-f2=f4-f3
3a+b+7=5a+b+19=7a+b+37 => 3a+7=5a+19=7a+37
很明顯地無解。

當為等比時，設f2/f1=f3/f2=f4/f3=r，
8+4a+2b+c=r(1+a+b+c), 27+9a+3b+c=r^2(1+a+b+c), 64+16a+4b+c=r^3(1+a+b+c)
=> 5a+b+19=r(r-1)(1+a+b+c), 7a+b+37=r^2(r-1)(1+a+b+c)
=> 2a+18=r(r-1)^2(1+a+b+c)
=> a = -9+r(r-1)^2(1+a+b+c)/2, b=26+r(r-1)(7-5r)(1+a+b+c)/2,
c=-24+r(3r^2-8r+6)(1+a+b+c)
1+a+b+c=-6+r(r^2-3r+3)(1+a+b+c) => 1+a+b+c=6/(r^3-3r^2+3r-1)
因此，可得
a=-9+3r(r-1)^2/(r^3-3r^2+3r-1),
b=26+3r(r-1)(7-5r)/(r^3-3r^2+3r-1),
c=-24+6r(3r^2-8r+6)/(r^3-3r^2+3r-1)
除r=1外，f1、f2、f3、f4為比例為r的等比級數，
且當r為有理數時，a、b、c為有理數。

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推 reye        : 這個做法標準又直觀，考場上是想得到的
→ reye        : 就是直接把中文翻成數學式子
※ 編輯: kilva (114.36.141.134 臺灣), 01/24/2021 17:00:35
推 eric911116  : 有想到等比作法 但算下去後面也不用算了吧
推 airpig      : 多選的一個選項而已，考試的時候你只能給他兩分鐘..
→ airpig      : 很難這樣做哈哈哈~~~
推 mj813       : 我也覺得這拿來考試且只是一個選項太不適合
推 alan23273850: 讚讚讚，覺得這個方法目前看起來最合情合理