[線代] 想請教高手幾題線代觀念

[wilson53421 (霧裡看熊)]

https://i.imgur.com/pjp5Ex7.jpg
第一題我只看的出來H矩陣是投影矩陣，其他就不知該如何下手了。

https://i.imgur.com/0UVsRY5.jpg
第四題我想請教的是C選項，不太曉得如何判斷。

https://i.imgur.com/EycP2vl.jpg
以及這邊的第三題，也是不太知道如何判斷。

https://i.imgur.com/xNTBFAJ.jpg
這邊題號一的只要丙和丁選項，我大概有求出，但想確認一下答案。

題目出處，台大財金所乙組考古題，本人有修過線代，但當時教的和考題的考風有小落差
，自己翻網路跟講義解了七、八成還行，剩下真的有些困擾QQ，還請高手指教。

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→ forget0309  : 4.(c)A-nI=C(B-nI)C^(-1)
→ forget0309  : 3.因為特徵值相異，所以存在可逆矩陣C使得CAC^(-1)
→ forget0309  : 是對角矩陣 乙丙丁用4.(c)應該能做
→ yhliu       : 第一題 H 為冪等, 其徵值非0即1. I-H 亦冪等.
→ yhliu       : 第四題 A-kI = C(B-kI)C^(-1)
→ yhliu       : 第三題 rank(AA^T) = rank(A) = 3, 另 A^n 的徵值為
→ yhliu       : A 之徵值的 n 次方, 故 A 之多項式的徵值易得.
→ yhliu       : 令 H=A^T(AA^T)^gA "^g" 代表 generalized inverse.
→ yhliu       : 則 H 為 CS(A) 上之正交投影矩陣. Ax=0 iff Hx=0 且
→ yhliu       : 以止2列作廢. 有點亂, 再想想.
→ yhliu       : Ax=0 iff. A^TAx=0, 故 N(A)=N(A^TA).
→ yhliu       : 令 CS(A^TA) 上之正交投影矩陣為 H, A^TA 為n階方陣
→ yhliu       : 則對任意 x in R^n, x = Hx + (I-H)x, Hx in CS(H)
→ yhliu       : 即 CS(A^TA), (I-H) in N(A^TA)=N(A), 故 R^n 為
→ yhliu       : N(A) 與 CS(A^TA) 之和, 且兩子空間垂直. 故兩者互
→ yhliu       : 為對方之正交補空間.
→ yhliu       : 令 P 為 CS(A) 上的垂直投影矩陴 P=A(A^TA)^gA^T,
→ yhliu       : 則 A^TP = A^T (PA=A). y - A^Tx 則 y=A^TPx=A^TAz
→ yhliu       : 其中 z=(A^TA)^gA^T, 故 y in CS(A^TA)=RS(A^TA).
→ yhliu       : 反之, y in RS(A^TA) 則 y=(A^TA)x=A^T(Ax)in RS(A)
→ wilson53421 : 謝謝樓上！！