推 MisatoMitumi: 看起來沒問題 02/11 23:00
→ yhliu : 在證明 "一" ==> "二" 中, "0" 的唯一性證明似可省? 02/15 09:32
→ yhliu : 因其唯一性為 "二" 之結果, 而非其敘述之一部分. 02/15 09:34
→ yhliu : 當然, 多證也無錯. 02/15 09:35
在實數公理裡，看到兩種敘述單位元與逆元素的方式，想試得證明這兩種敘
述方式是等價的，麻煩大家幫忙看一下下面的敘述是否無誤。
給定一集合 X 、具封閉性、交換律、結合律的運算元 +，
及 X 內的元素 x,y,z,0，可給出下列兩個等價的敘述：
一、對所有x、y，存在z，使得x+z=y。
二、存在0，使得對所有x，x+0=x，以及對所有x，存在y，使得x+y=0。
先假定「一」是正確的，
由對所有x、y，存在z，使得x+z=y，可知對所有x，存在a，使得x+a=x。
接下來，證明a與x的值無關，及其唯一性。
對所有y，所有x，存在z、a，使得y=x+z且x+a=a，可得
y+a=(x+z)+a=(z+x)+a=z+(x+a)=z+x=x+z=y (依運算元 + 的交換律與結合律)
因此，存在a，使得對所有y，y+a=y。
再來，假設存在a、a'，所得對所有x，x+a=x且x+a'=x，可得
a'+a=a'、a+a'=a，再依 + 的交換律，a'=a'+a=a+a'=a。
因此a是唯一的，並可將a寫成0，變成
存在0，使得對所有x，x+0=x
最後，由對所有x、y，存在z，使得x+z=y，及存在0，使得對所有x，x+0=x，
可以簡單得知對所有x，存在y，使得x+y=0。
再假定「二」是正確的，
對所有x，存在a，使得x+a=0，這對所有y，可得(x+a)+y=0+y=y，
又因運算元 + 的結合律，(x+a)+y=x+(a+y)，可得x+(a+y)=y。
因運算元 + 的封閉性，存在z，使得z=a+y。
因此，對所有x、y，存在z，使得x+z=y。
上面的敘述應該沒有問題吧？
想麻煩大家幫忙檢查看看，謝謝。
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