推 ERT312 : 要簡單可以使用集合的運算來操作 02/13 21:29
推 ERT312 : 遞移律的地方證明邏輯有問題 02/14 12:09
遞移律的地方試著修了一下，不知道還有沒有問題。
※ 編輯: kilva (114.36.137.135 臺灣), 02/15/2021 11:53:19
推 ERT312 : 「若非xTz，則非xRy或非yRz」 這裡有問題 02/15 19:37
依然在看實數公理。其中，序公理有採全序(total order)或嚴格全序(strict
total order)兩種方式，下面試著證明這兩種方式是等價的。
給定全序關係R、嚴格全序關係T（為了不影響思維，不用<、<=等符號），
全序關係R符合下列3個公理：
反對稱性(antisymmetry)：若xRy且yRx，則x=y。
遞移律(transitive)：若xRy且yRz，則xRz。
全關係(connex)：xRy或yRx，必有一個成立。
嚴格全序關係T符合下列2個公理：
三一律(trichotomy)：x=y、xTy、yTx，必有一個且僅有一個成立。
遞移律(transitive)：若xTy且yTz，則xTz。
可證明，若將R與T之間的關係定義為「若非xRy，則yTx」，則可先定義出R，再
推導出T；反之亦然。
為了證明上面敘述，再定義兩個性質如下：
非對稱性(asymmetry)：若xTy成立，則yTx不成立。
半全關係(semiconnex)：xTy、yTx或x=y，必有一個成立。
如此，可由下列步驟證出：
一、T具三一律，若且唯若T具非對稱性及半全關係。
二、T具非對稱性，若且唯若R具全關係。
三、T具半全關係，若且唯若R具反對稱性。
四、T具遞移律，若且唯若R具遞移律(在T具非對稱性、R具全關係的前提下)。
首先，「T具三一律，若且唯若T具非對稱性及半全關係」的證明如下：
=>:先由「x=y、xTy、yTx，必有一個且僅有一個成立(三一律)」的前提開始，
簡單可知若xTy成立，則x=y及yTx不成立，所以yTx不成立(非對稱性)；
以及xTy、yTx或x=y，必有一個成立(半全關係)。
<=:再由「若xTy成立，則yTx不成立(非對稱性)」及「xTy、yTx或x=y，必有一
個成立(半全關係)」的前提開始，
若x=y及xTy，則yTx，違反非對稱性，因此可知當x=y時，xTy及yTx不成立；
以及當xTy或yTx時，x=y不成立。
由上面的敘述及非對稱性，可知當x=y時，xTy及yTx不成立；當xTy時，x=y及
yTx不成立；當yTx時，x=y及xTy不成立。
再加上半全關係，可證得T具三一律。
「T具非對稱性，若且唯若R具全關係」的證明如下：
=>:先由「若xTy成立，則yTx不成立(非對稱性)」及「若非xTy，則yRx(R的定
義)」的前提開始，
由「若非xRy，則yTx」、「若yTx，則非xTy」及「若非xTy，則yRx」，可知
若非xRy，則yRx。因此，xRy或yRx，必有一個成立。
<=:再由「xRy或yRx，必有一個成立(全關係)」及「若非xRy，則yTx(T的定義)
」的前提開始，
由「xRy或yRx，必有一個成立」可知「非xRy且非yRx必不會成立」，所以
「當非xRy時，則非yRx不成立」。
亦即，若xTy成立，則yTx不成立。
「T具半全關係，若且唯若R具反對稱性」的證明如下：
=>:先由「xTy、yTx或x=y，必有一個成立(半全關係)」及「若非xTy，則yRx(R
的定義)」的前提開始，
簡單可知，當非xTy且非yTx時，則x=y。
亦即，若xRy且yRx，則x=y。
<=:再由「若xRy且yRx，則x=y(反對稱性)」及「若非xRy，則yTx(T的定義)」
的前提開始，
可知若非x=y，則非xRy或非yRx，亦即若非x=y，則xTy或yTx。
因此，xTy、yTx或x=y，必有一個成立。
最後，「T具遞移律，若且唯若R具遞移律」的證明如下：
=>:首先，由「若xTy，則非yTx(非對稱性)」及「若非yTx，則xRy(R的定義)」
，可推出「若xTy，則xRy」。
因此，可由「若xTy且yTz，則xTz」推出「若非xTz，則非xTy或非yTz」，
再推出「若非xTz，則非xRy或非yRz」，再推出「若xRy且yRz，則xTz」，
再推出「若xRy且xRz，則xRz」。
<=:使用「xRy或yRx，必有一個成立(全關係)」及「若xRy且yRz，則xRz」，可
知當zRx時，yRx或由zRx及xRy推出的zRy，必有一個成立，亦即
「若zRx，則yRx或zRy」。接下來可推出「若非yRx且非zRy，則非zRx」。
再依T的定義，即可得出「若xTy且yTz，則xTz」。
因此，可證得
若R具反對稱性、遞移律及全關係，且若非xRy，則yTx，則T具三一律及遞移律。
若T具三一律及遞移律，且若非xTy，則yRx，則R具反對稱性、遞移律及全關係。
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原本以為很簡單的，但實際在找證明時，才發現需要繞很大的圈，比前一篇單位
元與逆元素的等價敘述證明還麻煩。
感謝閱讀。
希望沒有錯漏的地方。
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