[中學] 高二下 空間中有關正四面體的問題

[tacomake ()]

空間中，有一邊長為6的正四面體O-ABC，其中O點為原點，
A點坐標為(6,0,0)，若△ABC之重心G的x,y,z坐標均為正整數；
試求：線段BC中點M之坐標。                   答：(3,3,3)

想法：因B,C在OA的中垂面上且OA=6
      故設B(3,m,n),C(3,u,v)
            6+3+3   0+m+u   0+n+v         m+u   n+v
      G = (-------,-------,-------) = (4,-----,-----)
              3       3       3            3     3
      得m+u,n+v均為3的正整數倍數

      又OB=OC=6 可得 m^2+n^2 = u^2+v^2 = 27
      代入 BC=6 可得 mu+nv=9
              3+3   m+u   n+v       m+u   n+v
      所求M=(-----,-----,-----)=(3,-----,-----)
               2     2     2         2     2
      接下來就不知道怎麼處理了,請賜教,謝謝!

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推 a84172543   : 我會嘗試用圖形湊湊看
→ a84172543   : OA中點當圓心 歪斜線距離為半徑 作圓
→ a84172543   : 再考慮你想要的座標限制
→ a84172543   : 或許就能知道了
→ a84172543   : 圓上的點就是BC的中點
→ a84172543   : 你作的圓形成的平面 會與OA直線垂直