推 tacomake : 用AG距離和OG為高即可解，謝謝： 02/21 01:04
※ 引述《tacomake ()》之銘言：
: 空間中，有一邊長為6的正四面體O-ABC，其中O點為原點，
: A點坐標為(6,0,0)，若△ABC之重心G的x,y,z坐標均為正整數；
: 試求：線段BC中點M之坐標。 答：(3,3,3)
: 想法：因B,C在OA的中垂面上且OA=6
: 故設B(3,m,n),C(3,u,v)
: 6+3+3 0+m+u 0+n+v m+u n+v
: G = (-------,-------,-------) = (4,-----,-----)
: 3 3 3 3 3
: 得m+u,n+v均為3的正整數倍數
: 又OB=OC=6 可得 m^2+n^2 = u^2+v^2 = 27
: 代入 BC=6 可得 mu+nv=9
: 3+3 m+u n+v m+u n+v
: 所求M=(-----,-----,-----)=(3,-----,-----)
: 2 2 2 2 2
: 接下來就不知道怎麼處理了,請賜教,謝謝!
設G(x, y, z)
(x - 6)x + y^2 + z^2 = 0
=> (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9
(x - 6)^2 + y^2 + z^2 = (6 (1/2)sqrt(3) (2/3))^2 = 12
=> x = 4
=> y^2 + z^2 = 8
=> y = z = 2
=> M = (6, 0, 0) + (3/2)(-2, 2, 2)
= (3, 3, 3)
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