Re: [中學] 排列組合之乘法與加法原理

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《suspect1 ()》之銘言：
:              2     4     8     16        a1   a2   a3              a31
:  若 (1+x)(1+x )(1+x )(1+x )(1+x  ) = 1+ x  + x  + x  + .........+ x    ，
:   1= a1 < a2 < .......<a31
: 則  a1 + a2 + ......+ a31 = ?
: 書中解答：
:
:             31                               4
:      級數和 Σ   ai 中， 1,2,4,8,16  各出現 2   = 16次    （不懂??）
:             i=1
:
:   所以答案為 16(1+2+4+8+16) = 496
:   請問解答到底寫什麼，完全看不懂

1 = x^0，a_0 = 0

a_0, a_1, ... , a_31構成2^5個相異數字(可證，自己想)

把所有可能都攤開來

例如挑出(1 + x^4)只看x^4

它可以配到(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^8)(1 + x^16)的個數有2^4個乘積

同理每個(...)因子中的x次方也都能配出2^4個乘積

所以(1 + 2 + 4 + 8 + 16) * 2^4 = 496

好題目！

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推 LPH66       : 或者換句話說, 同樣看 1+x^4, 這個 4 次方在最後的
→ LPH66       : a1~a31 當中有 2^4 個有加過 4; 其他項同理
→ LPH66       : 所以 1 2 4 8 16 全都出現過 2^4 次
推 Vulpix      : 剛剛好是1~31，乘開也很好算。
推 MisatoMitumi: 還有一個解釋是假設左邊是f(x), 則f'(1)=a_0+..+a31
→ MisatoMitumi: 筆誤，應該是a_1+...+a_31
推 ERT312      : ⑴展開 ⑵不展開 ⑶微分 ⑷直接看出展開是1+2+..+31
→ ERT312      : 所以目前為止至少四種算法 就算題目數字亂改一下
→ ERT312      : 還是有三種