[線代] 兩個 eigenvector 垂直

[HmmHmm (凝結的時間)]

假設我有一個 3*3 matrix T,

使得 T 的三個 eigenvalue 都不一樣，且和為零 (<=> tr(T) = 0)

現在想要找一個簡單的判別方法，

來判定其中兩個 eigenvectors 有沒有互相垂直

請問有沒有這樣的方法?

希望能用一些簡單的值像是 determinant 跟 minors 來刻畫

或是用 matrix 的性質類似於 symmetric, normal 這種

謝謝大家

p.s. 如果一般的情況不知道怎麼辦，

也可先假設這兩個 eigenvectors 對應的 eigenvalues 是兩個共軛的複數

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推 LPH66       : 雖然只是個方向, 但如果對角化 T = U^-1 D U
→ LPH66       : 再設 v 是 T 的一個 eigenvector 就能推得 Uv 是
→ LPH66       : D 的 eigenvector, 但對角矩陣的 EV 是單位向量
→ LPH66       : 也就是說 U 把兩個垂直向量仍然變成垂直
→ LPH66       : 這應該可以給條件(2)一點方向
推 chemmachine : 令T=第一列a1 a2 a3第二列 b1 b2 b3 第三列c1 c2 c3
→ chemmachine : 三個特徵值為det(T-LUMBDAI)此三次方程根，可以套卡
→ chemmachine : 當諾方程寫出顯式解。
→ chemmachine : T的三個EIGEN VALUE不一樣可轉化為此特徵方程有相異
→ chemmachine : 根。滿足三次程的三相異根判別式，維基即可查閱。
→ chemmachine : TR(T)為零代表此三次方程的二次項為零(韋達公式)，
→ chemmachine : 這裡得不到新東西。單純a1+b2+c3=0
→ chemmachine : 第二題要求特徵向量，因為已知T和特徵值，計算T-LUM
→ chemmachine : BDA_1 I的第一行和第二行(任兩行皆可)外積，可得特
→ chemmachine : 徵向量可表為a1 a2 a3外積b1 b2 b3為2*2MINOR行列式
→ chemmachine : 選兩個LUMBDA算兩個外積得兩特徵向量，再列出內積=0
→ chemmachine : 滿足以上條件的T即為所求。形式不會太複雜，但把LUM
→ chemmachine : BDA寫成顯式會很複雜
→ chemmachine : LUMBDA1，2，3三特徵值確實可由a1a2a3b1b2b3c1c2c3
→ chemmachine : 表達
※ 編輯: HmmHmm (218.173.2.190 臺灣), 03/03/2021 15:36:47
→ HmmHmm      : 不好意思 eigenvalues 全相異且和為零是假設
→ HmmHmm      : 真的想要刻畫的性質是 eigenvector 垂直 已改文章
→ HmmHmm      : chemmachine 謝謝你的回答，不過這真的好複雜....
→ HmmHmm      : 而且任兩行不能保證他們是 linearly independent
推 chemmachine : hmm大，我的意思是已知3*3矩陣的九個數字，可以用代
→ chemmachine : 數硬算出三個特徵值，因為你假設特徵值相異，所以
→ chemmachine : 用t-lumbda i 列方程可以硬算出三個特徵向量，不會
→ chemmachine : 像jordan form 退化。
→ chemmachine : t-lumbda i列出三個方程一定可以互消到算出(x y z)
→ chemmachine : 的比值，就是可以算出特徵向量的顯式表達。這應該可
→ chemmachine : 以用例子檢驗，就是不知道我有沒有會錯你的意思。特
→ chemmachine : 徵三個向量都知道 其他特徵向量只是這三個向量常數
→ chemmachine : 倍，再直接內積就可以檢驗了。