[中學]高中數學競賽題

[adamchi (adamchi)]

1.設n是使得149^n-2^n可以被3^3*5^5*7^7整除的最小正整數.

  試問n的正因數的個數為何?

  答:270


2.設點D在三角形ABC的線段BC上使得線段AD為角BAC的角平分線,

線段AD的中垂線分別交角ABC與角ACB角平分線於E.F兩點.已知

線段AB=4,線段BC=5,線段CA=6,三角形AEF的面積為(m*n^(1/2))/p,

其中m與p為互質的正整數,且正整數n不能被任何質數的平方整除.

試問m+n+p之值為何?

答:36


3.設P(x)是一個係數為複數的二次多項式,且x^2的係數為1.已知P(P(x))=0

 有四個相異解x=3,4,a及b,試問(a+b)^2所有可能值的總和為何?

答:85

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推 chemmachine : 第一題用ind_r a函數和wolfram可以算出來
→ chemmachine : n=3^2*2^2*5^4*7^5
→ chemmachine : 正因數個數=(2+1)*(2+1)*(4+1)*(5+1)
推 chemmachine : 149^n==2^n mod3^3*5^5*7^7拆解=>149^n==2^n mod3^3
→ chemmachine :  149^n==2^n mod5^5  149^n==2^n mod7^7 n為三式的
→ chemmachine : 最小公倍數
→ chemmachine : 3的primitive root查表得2  5的primitive root查表
→ chemmachine : 得2 7的primitive root得2 149^n==2^n mod3^3取ind
→ chemmachine : 更正7的primitive root=3
→ chemmachine : ind_2 149^n==ind_2 2^n mod phi(3^3) phi為歐拉函
→ chemmachine : 數
→ chemmachine : n*ind_2 149==n*ind_2 2 mod phi(3^3)
推 chemmachine : ind_2 149 mod phi 3^3等價於 least n使2^n==149mod
→ chemmachine : 3^3 要計算2^n==149mod 3^3用 wolfram函數
→ chemmachine : MultiplicativeOrder[2,3^3(改27),149]=17
→ chemmachine : 此式化為n*17==n*1 因ind_2 2=1 mod phi(3^3)
→ chemmachine : (3^3-3^2)|(17n-n) 得18|16n n=9=3^2 同理
→ chemmachine : 149^n==2^n mod5^5推得n=2^2*5^4 149^n==2^n mod7^7
→ chemmachine : 推得 n=7^5 故得解
→ chemmachine : 這個方法要弄懂ind_r a=n   mod phi(m)等價於
→ chemmachine : a^x==n mod m ，r是m的primitive root 然後看懂
→ chemmachine : wolfram函數
推 chemmachine : 更正 ind_r a=n   mod phi(m)等價於r^n==a mod m
→ chemmachine : wolfram的工作其實可以手算替代 雖然也很難算
→ chemmachine : 以2^n==149mod 3^3 來說 n取phi(3^3)的因數 ，從大
→ chemmachine : 到小檢驗 phi3^3 =2*3^2 列因數 2*3^2>3^2>2*3>3>2
→ chemmachine : >1 檢驗 149^n==2^n mod3^3
→ chemmachine : 5^5 用 phi5^5=4*5^4 >5^4 >4*5^3>5^3>4*5^2>5^2>
→ chemmachine : 4*5>5>4>1 大概檢查道第二或三個就結束了
推 chemmachine : 基本上是初等數論 index， order，primitive root
→ chemmachine : 改的，有習題 比你的題目數字小很多就是了
推 chemmachine : 第二題幾何 用解析法硬解 把abc點算出座標 算出
→ chemmachine : 直線方程AD
→ chemmachine : 再列出線段AD的中垂線方程角ABC與角ACB角平分線方程
→ chemmachine : 得E和F座標，再用三角形座標面積行列式算出AEF面積