[中學] 請問一題國中數學競賽題目

[xenium989 (xenium989)]

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答案：40
我有用公式解結合1-30的範圍求出

20b+c小於等於300
也知b^2+3c需為完全平方數，接下來只有想到慢慢帶b從1討論到14，但覺得這樣很慢，不
知是否有比較快的方法呢？謝謝大家

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推 chemmachine : 根式解的判別式為b^2+3c,令其為t^2，因式分解
→ chemmachine : (t+b)(t-b)=3c 由題目知b， c， 至少t+b或t-b為Z_30
推 chemmachine : 這樣不夠，當我沒說。
推 thepiano    : 大概就是那樣做，3 組解，官方的答案給 40 組是錯
→ thepiano    : 的
→ thepiano    : 33組解
推 chemmachine : c帶1~30 再因數分解成同奇偶，因t+b和t-b同奇偶
→ chemmachine : 苦工阿
推 LPH66       : 那個是正的根是 b+t, 因為另一個根 b-t<0 (因 c>0)
→ LPH66       : 所以只要檢查 3c 能分成同奇偶且其一在 1~30 即可
→ LPH66       : 雖然還是要一個一個來就是
→ LPH66       : 啊, 差 (2b) 要在 60 之內...
推 kilva       : 可以算b+1到sqrt{b^2+90}中c為整數的個數。b不為3倍
→ kilva       : 數時算sqrt{b^2+3c}不為3倍數的個數，為3倍數時算為
→ kilva       : 3倍數的個數。由b=1算到14共33個解
推 ddxu2       : 兩根(一正一負，正的比較大且不超過30，其一為3的倍
→ ddxu2       : 數，相乘不大於90)：
→ ddxu2       : 3,1；6,2；6,4；9,1；9,3；9,5；9,7；12,2；12,4；1
→ ddxu2       : 2,6；12,8；15,1；15,3；15,5；18,2；18,4；21,1；2
→ ddxu2       : 1,3；24,2；27,1；27,3；30,2
→ ddxu2       : 可以指點一下哪裡漏算了嗎？
推 ddxu2       : 我只數出22個
推 kilva       : 3,-1;5,-3;6,-2;6,-4;7,-3;8,-6;9,-1;9,-3;9,-5;9,-
→ kilva       : 7;10,-6;11,-3;12,-2;12,-4;12,-6;13,-3;14,-6;15,-
→ kilva       : 1;15,-3;15,-5;17,-3;18,-2;18,-4;19,-3;21,-1;21,-
→ kilva       : 3;23,-3;24,-2;25,-3;27,-1;27,-3;29,-3;30,-2，共3
→ kilva       : 3個解
→ kilva       : 這個方式比較簡單
推 ddxu2       : 我傻了，忘記算這個部分
→ xenium989   : 謝謝各位大大的回覆，感恩!!