推 chemmachine : 推 03/06 17:37
※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: 2.設點D在三角形ABC的線段BC上使得線段AD為角BAC的角平分線,
: 線段AD的中垂線分別交角ABC與角ACB角平分線於E.F兩點.已知
: 線段AB=4,線段BC=5,線段CA=6,三角形AEF的面積為(m*n^(1/2))/p,
: 其中m與p為互質的正整數,且正整數n不能被任何質數的平方整除.
: 試問m+n+p之值為何?
: 答:36
作 △ABD 的外接圓, 則:
i. ∠ABD 的角平分線平分弧 AD
ii. AD 為弦, 故中垂線也平分弧 AD
因此 i. 和 ii. 和弧 AD 的交點都是同一個, 這點即是 i. 和 ii. 的交點 E
也就是 A B D E 四點共圓, 由此可得 ∠AEB = ∠ADB
對稱地可證 A C D F 四點共圓, 及 ∠AFC = ∠ADC
若令 △ABC 內心為 I
則 ∠AEI + ∠AFI = ∠AEB + ∠AFC = ∠ADB + ∠ADC = 平角
故知 A E F I 四點共圓
https://i.imgur.com/AcVbg9G.png
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接下來要來開始算長度了:
AD 長可由角平分線公式得到為 3√2 (公式見最下方註解)
而由內心性質 I 分 AD 為 AI:ID = (4+6):5 = 2:1 得 AI = 2√2, ID = √2
類似地可求得 BI = 2, CI = √14
於是由 △AIE～△BID 得
△AIE = (AI/BI)^2 △BID = 2△BID
= 2(BD/BC)△BIC = 2*(4/10)*△BIC = (4/5)△BIC
由 △AIF～△CID 得
△AIF = (AI/CI)^2 △CID = (4/7)△CID
= (4/7)(CD/BC)△BIC = (4/7)*(6/10)*△BIC = (12/35)△BIC
由 △FIE～△BIC 得 (☆)
△FIE = (EI/CI)^2 △BIC = (2/7)△BIC
最後
△AEF = △AIE + △AIF - △FIE = (4/5 + 12/35 - 2/7)△BIC = (6/7)△BIC
而 △BIC = (5/(4+5+6))△ABC, △ABC 可由海龍公式算得為 (15/4)√7
故 △AEF = (6/7)*(5/15)*(15/4)√7 = (15/14)√7
即所求為 m = 15, n = 7, p = 14, 和為 36 #
☆這個相似是這樣來的: 利用已知的三個共圓有
∠FEI = ∠FAI (∠FAD) = ∠FCD (∠ICB)
∠EFI = ∠EAI (∠EAD) = ∠EBD (∠IBC)
所以 AA 相似
另外 EI 長可以由 △AIE～△BID 求得 EI = (AI/BI)*ID = (2√2 / 2)*√2 = 2
所以 (EI/CI)^2 = (2/√14)^2 = 4/14 = 2/7
(用這邊是因為 BI 沒有根號, EI 長比較好算
不然也是能求 FI 長再用 (FI/BI)^2 一樣能得到 2/7)
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這做法中間其實跳了不少計算
例如角平分線長公式我是用維基百科上的公式: https://reurl.cc/5odaK7
然後要求的面積其實也是用湊的, 從相似三角形算面積比例硬湊出來
一下子還沒看出來有沒有更直接的算法
還有...關鍵的 ABDE ACDF 共圓這件事也是在 GGB 上發現之後才去想要怎麼證的 orz
(不過有了這兩個之後 AEFI 共圓相對容易看得出來)
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